지표와 가수 함수

[출제의도] 로그의 정의를 이용하여 상용로그의 지표와 가수를 구한다. $f ( x )$는 정수, $0 \leq g ( x ) < 1$ $\log x = f ( x ) + g ( x )$이므로 $f ( x )$, $g ( x )$는 각각 $\log x$의 정수부분과 소수부분이다. 즉 $f ( x )$, $g ( x )$는 각각 $\log x$의 지표와 가수이다. $1 = 10 ^{0}$이므로 $0 \leq \log 1 < 1$ 즉, $f ( 1 ) = 0$이다. $10 ^{1} < 11 < 10 ^{2}$이므로 $1 < \log 11 < 2$ 즉, $f ( 11 ) = 1$이다. $10 ^{2} < 111 < 10 ^{3}$이므로 $2 < \log 111 < 3$ 즉, $f ( 111 ) = 2$이다. $a = f ( 1 ) + f ( 11 ) + f ( 111 )$$= 0 + 1 + 2$$= 3$ $1 \leq a < 10$이므로 $0 \leq \log a < 1$ 즉, $f ( a ) = 0$이다. $\log 3 = 0 + g ( a )$ 따라서 $g ( a ) = \log 3$ [다른풀이] (다)의 식에 $x = 1$을 대입하면 $10 ^{f(1)+g(1)} = 1 = 10 ^{0}$에서 $f ( 1 ) + g ( 1 ) = 0$ 따라서 $f ( 1 ) = 0$ (다)의 식에 $x = 11$을 대입하면 $10 ^{f ( 11 ) + g ( 11 )} = 11 = 10 ^{1. \times \times \times}$에서 $f ( 11 ) + g ( 11 ) = 1. \times \times \times$ 따라서 $f ( 11 ) = 1$ (다)의 식에 $x = 111$을 대입하면 $10 ^{f ( 111 ) + g ( 111 )} = 111 = 10 ^{2. \times \times \times}$에서 $f ( 111 ) + g ( 111 ) = 2. \times \times \times$ 따라서 $f ( 111 ) = 2$ $a = f ( 1 ) + f ( 11 ) + f ( 111 )$ $= 0 + 1 + 2$ $= 3$ (다)의 식에 $x = 3$을 대입하면 $10 ^{f(3)+g(3)} = 3 = 10 ^{0. \times \times \times}$ $f ( 3 ) + g ( 3 ) = 0. \times \times \times$ $f ( 3 ) = 0$이므로 $f ( a ) = 0$ (다)의 식에 $x = a$를 대입하면 $10 ^{f(a)+g(a)} = a$ $10 ^{g(a)} = a = 3$ 따라서 구하는 값은 $g ( a ) = \log 3$