지표와 가수 방정식

모든 자연수 $k$에 대하여 $g ( x ^{k} )$$= k \times g ( x ) - a _{k}$ 을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a _{k}$가 존재한다. 조건 (가)에서 $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{5} g ( x ^{k} ) = 5 g ( x ) + \sum\limits _{k=1} ^{5} a _{k}$이고 $g ( x ^{10} ) + 2 = 10 g ( x ) + a _{10} + 2$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{5} g ( x ^{k} ) = g ( x ^{10} ) + 2$에서 $\displaystyle 5 g ( x ) = a _{10} - \sum\limits _{k=1} ^{5} a _{k} + 2$ 위 등식의 우변이 정수이므로 $5 g ( x )$도 정수이어야 한다. ∴ $g ( x ) = 0$, $\displaystyle \frac{1}{5}$, $\displaystyle \frac{2}{5}$, $\displaystyle \frac{3}{5}$, $\displaystyle \frac{4}{5}$ (∵ $0 \leq g ( x ) < 1$) ⋯⋯ ㉠ 모든 자연수 $k$에 대하여 $f ( kx ) \geq f ( x )$ 이다. 조건 (나)에서 $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{3} f ( kx ) = 3 f ( x )$ 이므로 $f ( 3 x ) = f ( x )$이어야 한다. $\log 3 x = f ( x ) + g ( x ) + \log 3$이므로 $f ( 3 x ) = f ( x )$이려면 $g ( x ) + \log 3 < 1$이어야 한다. ∴ $g ( x ) < 1 - \log 3 = 0.5229$ ⋯⋯ ㉡ ㉠, ㉡에서 $g ( x ) = 0$, $\displaystyle \frac{1}{5}$, $\displaystyle \frac{2}{5}$ (ⅰ) $g ( x ) = 0$이면 $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{5} g ( x ^{k} ) = 0$이고 $g ( x ^{10} ) + 2 = 2$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{5} g ( x ^{k} ) \ne g ( x ^{10} ) + 2$ (ⅱ) $\displaystyle g ( x ) = \frac{1}{5}$이면 $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{5} g ( x ^{k} ) = \frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{3}{5} + \frac{4}{5} + 0 = 2$이고 $g ( x ^{10} ) + 2 = 2$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{5} g ( x ^{k} ) = g ( x ^{10} ) + 2$ (ⅲ) $\displaystyle g ( x ) = \frac{2}{5}$이면 $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{5} g ( x ^{k} ) = \frac{2}{5} + \frac{4}{5} + \frac{1}{5} + \frac{3}{5} + 0 = 2$ $g ( x ^{10} ) + 2 = 2$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{5} g ( x ^{k} ) = g ( x ^{10} ) + 2$ (ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)에서 $\displaystyle g ( x ) = \frac{1}{5}$ 또는 $\displaystyle g ( x ) = \frac{2}{5}$ $1 < x < 10 ^{5}$이므로 $0 \leq f ( x ) < 5$이다. 따라서 $x$가 조건을 만족시킬 때, $\log x = f ( x ) + g ( x )$ 이다. (단, $f ( x ) = 0$, $1$, $2$, $3$, $4$이고 $\displaystyle g ( x ) = \frac{1}{5}$, $\displaystyle \frac{2}{5}$) ∴ $\log A$$\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{5} \left\{ ( k - 1 ) + \frac{1}{5} \right\} + \sum\limits _{k=1} ^{5} \left\{ ( k - 1 ) + \frac{2}{5} \right\}$ $= 11 + 12$$= 23$