지표와 가수

$\log x = f \left( x \right) + g \left( x \right)$ ($f \left( x \right)$는 정수, $0 \leq g \left( x \right) < 1$) $0 \leq g \left( x ^{2} \right) < 1$, $0 \leq g \left( x ^{3} \right) < 1$이므로 (가)에서 $0 \leq f \left( x \right) = g \left( x ^{2} \right) + g \left( x ^{3} \right) < 2$이다. $f \left( x \right)$는 정수이므로 $0$ 또는 $1$이다. 한편, (나)에 의하여 $f \left( x \right) \ne 0$ ∴ $f \left( x \right) = 1$ $\log x ^{2} = f \left( x ^{2} \right) + g \left( x ^{2} \right) = 2 f \left( x \right) + 2 g \left( x \right)$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ $\log x ^{3} = f \left( x ^{3} \right) + g \left( x ^{3} \right) = 3 f \left( x \right) + 3 g \left( x \right)$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$, $\text{㉡}$에서 $f \left( x ^{2} \right) + f \left( x ^{3} \right) + g \left( x ^{2} \right) + g \left( x ^{3} \right) = 5 f \left( x \right) + 5 g \left( x \right)$ $\cdots \cdots \text{㉢}$ $\text{㉢}$의 좌변은 정수이므로 $5 g \left( x \right)$는 정수이다. $\therefore$ $0 < g \left( x \right) < 1$에서 $g \left( x \right)$가 될 수 있는 값은 $\displaystyle \frac{1}{5}$, $\displaystyle \frac{2}{5}$, $\displaystyle \frac{3}{5}$, $\displaystyle \frac{4}{5}$이다. $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{4}{5}$일 때, $\displaystyle g \left( x ^{2} \right) = \frac{3}{5}$, $\displaystyle g \left( x ^{3} \right) = \frac{2}{5}$, $\displaystyle g \left( x ^{4} \right) = \frac{1}{5}$ 이므로 $g ( x ^{2} ) > g ( x ^{3} ) > g ( x ^{4} )$이 성립한다. ∴ $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{4}{5}$이므로 $\displaystyle \log x = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}$, $\displaystyle x = 10 ^{\frac{9}{5}}$ 따라서 $m = 5$, $n = 9$이므로 $m + n = 14$