대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지표로 자연수 개수

문제

다음은 상용로그의 지표가 mm 인 자연수 전체의 개수를 xx 라 하고, 역수의 상용로그의 지표가 n‾(n>0)\displaystyle \overline{n} ( n > 0 ) 인 자연수 전체의 개수를 yy 라 할 때, log⁡x−log⁡y\log x - \log y 를 m,nm , n 으로 나타내는 과정이다.

상용로그의 지표가 mm 인 자연수를 AA 라 하면 m≤log⁡A<m \leq \log A < (가)

10m≤A<10m+110 ^{m} \leq A < 10 ^{m+1} ∴\thereforex=10m+1−10m=x = 10 ^{m+1} - 10 ^{m} = (나)

⋅10m\cdot 10 ^{m} 또 역수의 상용로그의 지표가 n‾\displaystyle \overline{n} 인 자연수를 BB 라 하면

(다)

≤log⁡1B<−n+1\displaystyle \leq \log \frac{1}{B} < - n + 1 n−1<log⁡B≤nn - 1 < \log B \leq n 10n−1<B≤10n10 ^{n-1} < B \leq 10 ^{n} ∴\thereforey=10n−10n−1=y = 10 ^{n} - 10 ^{n-1} = (나)

⋅10n−1\cdot 10 ^{n-1} x,yx , y의 값을 log⁡x−log⁡y\log x - \log y에 대입하여 정리하면 log⁡x−log⁡y=log⁡xy=\displaystyle \log x - \log y = \log \frac{x}{y} = (라)

위의 과정에서 (가)+(나)+(다)+(라)( \text{가} ) + ( \text{나} ) + ( \text{다} ) + ( \text{라} )의 값은? [3점] ①2m+102 m + 10②−2n+10- 2 n + 10③m−2n+10m - 2 n + 10④2m−n+112 m - n + 11⑤2m−2n+112 m - 2 n + 11

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⑤

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해설

상용로그의 지표가 mm인 자연수를 AA라 하면 m≤log⁡A<m \leq \log A <m+1m + 1 10m≤A<10m+110 ^{m} \leq A < 10 ^{m+1} ∴\thereforex=10m+1−10m=x = 10 ^{m+1} - 10 ^{m} =9⋅10m9 \cdot 10 ^{m} 또 역수의 상용로그의 지표가 n‾\displaystyle \overline{n}인 자연수를 BB라 하면 −n- n ≤log⁡1B<−n+1\displaystyle \leq \log \frac{1}{B} < - n + 1 n−1<log⁡B≤nn - 1 < \log B \leq n 10n−1<B≤10n10 ^{n-1} < B \leq 10 ^{n} ∴\thereforey=10n−10n−1=y = 10 ^{n} - 10 ^{n-1} =9⋅10n−19 \cdot 10 ^{n-1} x,yx , y의 값을log⁡x−log⁡y\log x - \log y에 대입해 정리하면 log⁡x−log⁡y\log x - \log y=log⁡xy\displaystyle = \log \frac{x}{y}=log⁡9⋅10m9⋅10n−1\displaystyle = \log \frac{9 \cdot 10 ^{m}}{9 \cdot 10 ^{n-1}}=log⁡10m−n+1= \log 10 ^{m - n + 1}=m−n+1= m - n + 1 그러므로 (가) m+1m + 1, (나) 99, (다) −n- n, (라) m−n+1m - n + 1 (가)+(나)+(다)+(라)\left( \text{가} \right) + \left( \text{나} \right) + \left( \text{다} \right) + \left( \text{라} \right) =m+1+9−n+m−n+1= m + 1 + 9 - n + m - n + 1 =2m−2n+11= 2 m - 2 n + 11

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