지표 조건 개수

[출제의도] 상용로그의 지표를 이해하고, 주어진 식을 만족시키는 자연수를 구한다. $f ( m )$은 $\log m$의 지표이므로 정수이고 $1 \leq m \leq 1000$에서 $0 \leq f ( m ) \leq 3$, $2 \leq 2 m \leq 2000$에서 $0 \leq f ( 2 m ) \leq 3$이다. 따라서 주어진 조건 $2 f ( m ) - f ( 2 m ) = 1$을 만족시키는 순서쌍 $\left( f ( m ) , f ( 2 m ) \right)$은 $( 1 , 1 )$, $( 2 , 3 )$이다. ⅰ) $\left( f ( m ) , f ( 2 m ) \right) = ( 1 , 1 )$일 때 $f ( m ) = 1$에서 $10 \leq m < 100$ $f ( 2 m ) = 1$에서 $10 \leq 2 m < 100$ 따라서 $10 \leq m < 50$이므로 $m$은 $40$개다. ⅱ) $\left( f ( m ) , f ( 2 m ) \right) = ( 2 , 3 )$일 때 $f ( m ) = 2$에서 $100 \leq m < 1000$ $f ( 2 m ) = 3$에서 $1000 \leq 2 m < 10000$ 따라서 $500 \leq m < 1000$이므로 $m$은 $500$개다. ⅰ), ⅱ)에서 구하는 $m$의 개수는 $540$이다.