지표 가수와 이차방정식 보기

[출제의도] 상용로그를 이용하여 추론하기 $\displaystyle x ^{2} - \left( 3 n + \frac{1}{3 n} \right) x + 1 = 0$의 두 근은 $3 n$과 $\displaystyle \frac{1}{3 n}$이므로, $\log A ^{3}$의 지표는 $3 n$이고 $\log A ^{2}$의 가수는 $\displaystyle \frac{1}{3 n}$이다. $\log A ^{3}$$= 3 n + \alpha$ ($0 \leq \alpha < 1$)라 하자. $\displaystyle \log A ^{2} = 2 n + \frac{2}{3} \alpha$이고 $\displaystyle 0 \leq \frac{2}{3} \alpha < \frac{2}{3}$이므로 $\log A ^{2}$의 가수는 $\displaystyle \frac{2}{3} \alpha$이다. $\displaystyle \frac{2}{3} \alpha = \frac{1}{3 n}$이므로 $\displaystyle \alpha = \frac{1}{2 n}$ $\displaystyle \log A = n + \frac{1}{6 n}$ ㄱ. $n = 1$일 때 $\log A ^{3}$의 지표는 $3$ (참) ㄴ. $\log A$의 가수는 $\displaystyle \frac{1}{6 n}$ (참) ㄷ. $\displaystyle \log A ^{12} = 12 \log A = 12 n + \frac{2}{n}$이므로 $n = 1$ 또는 $n = 2$일 때 $A ^{12}$은 자연수이다. (참)