지표·가수와 행렬 연립

[출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 연립일차방정식이 무수히 많은 해를 가질 조건을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $10 ^{2} < N < 10 ^{4}$에서 $2 < \log N < 4$이므로 $n = 2$ 또는 $n = 3$ 연립방정식 $\displaystyle \begin{pmatrix} - \alpha & n \\ n & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = - n \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$를 정리하면 $\displaystyle \begin{pmatrix} n - \alpha & n \\ n & n + 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ 주어진 연립방정식이 $x = y = 0$이외의 해를 가지려면 $( n - \alpha ) ( n + 1 ) - n ^{2} = 0$ $\displaystyle \therefore \alpha = \frac{n}{n + 1}$ (ⅰ) $n = 2$일 때, $\displaystyle \alpha = \frac{2}{3}$ (ⅱ) $n = 3$일 때, $\displaystyle \alpha = \frac{3}{4}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle N = 10 ^{\frac{8}{3}}$ 또는 $\displaystyle N = 10 ^{\frac{15}{4}}$이므로 구하는 모든 $N$의 값의 곱은 $\displaystyle 10 ^{\frac{8}{3}} \times 10 ^{\frac{15}{4}} = 10 ^{\frac{8}{3} + \frac{15}{4}} = 10 ^{\frac{77}{12}}$ 따라서 $p = 12 , q = 77$이므로 $p + q = 89$이다.