지표·가수와 가우스 합

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수에 대한 문제해결하기 상용로그 $\log A$의 지표 $n$과 가수 $\alpha$가 방정식 $4 x ^{2} - 13 x + \beta = 0$의 두 근이므로 $\displaystyle \log A = n + \alpha = \frac{13}{4}$이다. $n$은 정수, $0 \leq \alpha < 1$이므로, $n = 3$, $\displaystyle \alpha = \frac{1}{4}$이다. $\therefore$$\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{30} \left[ \frac{400 \alpha}{n ^{k}} \right] = \sum\limits _{k = 1} ^{30} \left[ \frac{100}{3 ^{k}} \right]$ $\displaystyle = \left[ \frac{100}{3} \right] + \left[ \frac{100}{3 ^{2}} \right] + \left[ \frac{100}{3 ^{3}} \right] + \left[ \frac{100}{3 ^{4}} \right] + 0 + \cdots$ $= 48$