지표 가수 세 점 공선

$\log 1 = 0$이므로 $\mathrm{A} _{1} ( 0 , 0 )$ 점 ${\mathrm{A}} _{n}$의 $x$, $y$좌표가 각각 $\log n$의 지표 $f ( n )$, 가수 $g ( n )$이므로 점 ${\mathrm{A}} _{n}$의 $x$좌표는 정수이고 $y$좌표는 $1$보다 작고 $0$보다 크거나 같다. $10 < n < 1000$일 때, $1 < \log n < 3$이므로 ${\mathrm{A}} _{k}$, ${\mathrm{A}} _{m}$의 $x$좌표는 $1$ 또는 $2$이다. ${\mathrm{A}} _{k}$, ${\mathrm{A}} _{m}$의 $x$좌표가 모두 $1$ 또는 모두 $2$이면 세 점 $\mathrm{A} _{1}$, ${\mathrm{A}} _{k}$, ${\mathrm{A}} _{m}$이 한 직선 위에 있지 않으므로 점 ${\mathrm{A}} _{k}$와 ${\mathrm{A}} _{m}$의 $x$좌표는 각각 $1$, $2$이어야 한다. (∵ $k < m$) ∴ $f ( k ) = 1$, $f ( m ) = 2$ ⋯⋯ ㉠

이때, 두 점 $\mathrm{A} _{1}$, ${\mathrm{A}} _{k}$를 잇는 직선의 기울기와 두 점 ${\mathrm{A}} _{k}$, ${\mathrm{A}} _{m}$을 잇는 직선의 기울기는 같으므로 $\displaystyle g ( k ) = \frac{g ( m )}{2}$가 성립한다. 한편, $\log k = f ( k ) + g ( k )$, $\log m = f ( m ) + g ( m )$이므로 $\displaystyle g ( k ) = \frac{g ( m )}{2}$에서 $\displaystyle \log k - 1 = \frac{\log m - 2}{2}$ ∴ $m = k ^{2}$ ⋯⋯ ㉡ ㉠에서 $10 < k < 100$, $100 \leq m < 1000$이고 $31 ^{2} = 961$, $32 ^{2} = 1024$이므로 조건 ㉠, ㉡을 만족시키는 자연수 $k$의 범위는 $11 \leq k \leq 31$이다. $k$가 최대일 때, $m$($=$$k ^{2}$)도 최대가 되므로 $k + m$는 $k = 31$일 때, 최댓값 $31 + 31 ^{2} = 992$를 갖는다.