대수지수와 로그수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

지표 가수 좌표

문제

11보다 큰 두 수 A,BA , B에 대하여 log⁡A\log A의 지표와 가수는 각각 m,αm , \alpha이고 log⁡B\log B의 지표와 가수는 각각 n,βn , \beta일 때, 점 P,Q\mathrm{P} , Q의 좌표를 P(m,n)\mathrm{P} \mathit{(} m , n ), Q(α,β)\mathrm{Q} \mathit{(} \alpha , \beta )라 하자. 점 P\mathrm{P}는 곡선 y=16x(x>0)\displaystyle y = \frac{16}{x} \left( x > 0 \right) 위에 있고 점 Q\mathrm{Q}는 직선 y=−x+1y = - x + 1위에 있을 때, ABAB의 최댓값과 최솟값의 곱이 10k10 ^{k}이다. 실수 kk의 값을 구하시오. [4점]

정답 보기
27

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 을 이용하여 문제 해결하기 log⁡A=m+α,log⁡B=n+β\log A = m + \alpha , \log B = n + \beta (m,nm , n은 음이 아닌 정수, 0≤α<10 \leq \alpha < 1, 0≤β<10 \leq \beta < 1 ) 점 Q\mathrm{Q} 가 y=−x+1y = - x + 1위에 있으므로 α+β=1\alpha + \beta = 1 점 P\mathrm{P} 가 y=16x\displaystyle y = \frac{16}{x}위에 있으므로 mn=16mn = 16 log⁡AB\log AB==log⁡A+log⁡B\log A + \log B =m+α+n+β= m + \alpha + n + \beta =m+n+1= m + n + 1 ∴AB=10m+n+1\therefore AB = 10 ^{m + n + 1} 양의 정수 m,nm , n에 대하여 mn=16mn = 16일 때, m+nm + n의 최댓값은 1717, 최솟값은 88이므로 ABAB 의 최댓값은 101810 ^{18}, 최솟값은 10910 ^{9} 최댓값과 최솟값의 곱은 102710 ^{27} ∴ k=27k = 27

태그

#지표#가수

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 지수와 로그 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로