지표 가수 조건

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수 이해하기 $f ( a ) = n$이라 하자. $6 \left\{ g \left( a \right) \right\} ^{2} - 5 g \left( a \right) + 1 = 0$ $\left\{ 3 g \left( a \right) - 1 \right\} \left\{ 2 g \left( a \right) - 1 \right\} = 0$ $\displaystyle \therefore g \left( a \right) = \frac{1}{3}$ 또는 $\displaystyle \frac{1}{2}$ (ⅰ) $\displaystyle g \left( a \right) = \frac{1}{3}$ $\displaystyle \log a = n + \frac{1}{3}$ $\displaystyle \log a ^{2} = 2 \log a = 2 n + \frac{2}{3}$ $\log a ^{3} = 3 \log a = 3 n + 1$ 따라서 $f \left( a \right) + f \left( a ^{2} \right) + f \left( a ^{3} \right) = 6 n + 1$ 그런데 $6 n + 1 = 14$를 만족하는 정수 $n$이 존재하지 않으므로 $g ( a )$는 $\displaystyle \frac{1}{3}$이 아니다. (ⅱ) $\displaystyle g \left( a \right) = \frac{1}{2}$ $\displaystyle \log a = n + \frac{1}{2}$ $\log a ^{2} = 2 \log a = 2 n + 1$ $\displaystyle \log a ^{3} = 3 \log a = 3 n + \frac{3}{2}$ 따라서 $f \left( a \right) + f \left( a ^{2} \right) + f \left( a ^{3} \right) = 6 n + 2$ $6 n + 2 = 14$를 만족하는 정수 $n$은 $2$이다. 따라서 $\displaystyle \log a = 2 + \frac{1}{2}$ $\displaystyle \log a ^{6} = 6 \log a = 6 \times \left( 2 + \frac{1}{2} \right) = 15$$\therefore f ( a ^{6} ) = 15$