대수지수와 로그수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

지표 가수 집합

문제

자연수 nn에 대하여 log⁡n\log n의 지표와 가수를 각각 f(n)f ( n ), g(n)g ( n )이라 하자. 두 집합 AA, BB를 A={n∣f(3n)=f(n)+1,A = \left\{ n | f ( 3 n ) = f ( n ) + 1 , \right. nn은 5050 이하의 자연수}\} B={g(n)∣n∈A}B = \left\{ g ( n ) | n \in A \right\} 라 할 때, 집합 BB의 원소의 개수를 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 상용로그의 성질을 활용하여 추론하기 ⅰ) 1≤n≤91 \leq n \leq 9일 때, f(n)=0f ( n ) = 0이므로 f(3n)=f(n)+1=1f ( 3 n ) = f ( n ) + 1 = 1이기 위해서는 10≤3n≤9910 \leq 3 n \leq 99 즉, 103≤n≤33\displaystyle \frac{10}{3} \leq n \leq 33 ∴\therefore 4≤n≤94 \leq n \leq 9 ⅱ) 10≤n≤5010 \leq n \leq 50일 때, f(n)=1f ( n ) = 1이므로 f(3n)=f(n)+1=2f ( 3 n ) = f ( n ) + 1 = 2이기 위해서는 100≤3n≤999100 \leq 3 n \leq 999 즉, 1003≤n≤333\displaystyle \frac{100}{3} \leq n \leq 333 ∴\therefore 34≤n≤5034 \leq n \leq 50 ∴\thereforeA={n∣4≤n≤9A = \left\{ n | 4 \leq n \leq 9 \right. 또는 34≤n≤5034 \leq n \leq 50, nn은 자연수}\} g(40)=g(4)g ( 40 ) = g ( 4 ), g(50)=g(5)g ( 50 ) = g ( 5 ) 인 경우 이외에는 g(n)g ( n )은 서로 다른 값을 갖는다. n(B)=n(A)−2=23−2=21n ( B ) = n ( A ) - 2 = 23 - 2 = 21 따라서 집합 BB의 원소의 개수는 2121

태그

#상용로그#지표와 가수

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