지표 가수 점 거리

$\log m = A + \alpha \left( A \text{는} \text{정수} , 0 \leq \alpha < 1 \right)$, $\log n = B + \beta \left( B \text{는} \text{정수} , 0 \leq \beta < 1 \right)$라고 하자. 그러면 $P _{m}$의 좌표는 $\left( A , \alpha \right)$, $P _{n}$의 좌표는 $\left( B , \beta \right)$이다. (나)의 조건에 의해서 $\displaystyle \overline{P _{m} P _{n}} = \sqrt{\left( A - B \right) ^{2} + \left( \alpha - \beta \right) ^{2}} = \sqrt{1 + \left( \log 2 \right) ^{2}}$이다. $\left( A - B \right) ^{2}$은 정수이므로 $\left( A - B \right) ^{2} = 1$, $\left( \alpha - \beta \right) ^{2} = \left( \log 2 \right) ^{2}$이다. 그런데 (가)의 조건에 의해서 $m < n$이므로 $A - B = - 1$이고 $A = 0 , B = 1$이다. 이상에서 $\displaystyle {\begin{cases} \log m = 0 + \alpha & \\ \log n = 1 + \beta & \end{cases}}$이다. $\alpha - \beta = \pm \log 2$이므로 $\log m - \log n = - 1 + \left( \alpha - \beta \right)$에서 $\displaystyle \log \frac{m}{n} = - 1 + \log 2 = \log \frac{1}{5}$ 또는 $\displaystyle \log \frac{m}{n} = - 1 - \log 2 = \log \frac{1}{20}$이다. 그러므로 $n = 5 m$ 또는 $n = 20 m$을 만족하는 한 자리 자연수 $m$과 두 자리 자연수 $n$을 찾으면 된다. (i) $n = 5 m$에서 순서쌍 $\left( m , n \right) = \left( 2 , 10 \right) , \left( 3 , 15 \right) , \cdots , \left( 9 , 45 \right)$의 $8$개다. (ii) $n = 20 m$에서 순서쌍 $\left( m , n \right) = \left( 1 , 20 \right) , \left( 2 , 40 \right) , \left( 3 , 30 \right) , \left( 4 , 80 \right)$의 4개다. 이상에서 순서쌍의 개수는 $12$개다.