지표 가수 함수 보기

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. (참)$\log 80 = \log 10 + \log 8 = 1 + 3 \log 2$에서 $f ( 80 ) = 1 , g ( 80 ) = 3 \log 2$ $\therefore f ( 80 ) - 1 = g ( 80 ) - 3 \log 2$ ㄴ. (거짓)$\log a = f ( a ) + g ( a )$, $\log a ^{2} = 2 f ( a ) + 2 g ( a )$ 그런데 $f ( a ^{2} ) = 2 f ( a )$이므로 $0 \leq 2 g ( a ) < 1$ $\displaystyle \therefore 0 \leq g ( a ) < \frac{1}{2}$ $\log a ^{3} = 3 f ( a ) + 3 g ( a )$에서 $\displaystyle 0 \leq 3 g ( a ) < \frac{3}{2}$이고 $\displaystyle 1 \leq 3 g ( a ) < \frac{3}{2}$일 때는 $f ( a ^{3} ) = 3 f ( a ) + 1$이다. ㄷ. (참)$\log a ^{2} = 2 f ( a ) + 2 g ( a )$에서 $0 \leq g ( a ) < 1$이므로 $0 \leq 2 g ( a ) < 2$ ⅰ) $0 \leq 2 g ( a ) < 1$일 때 $g ( a ) = 2 g ( a )$ ∴$g ( a ) = 0$ ⅱ) $1 \leq 2 g ( a ) < 2$일 때 $g ( a ^{2} ) = 2 g ( a ) - 1 = g ( a )$ $g ( a ) = 1$이므로 모순이다. ⅰ)과 ⅱ)에 의해 $g ( a ) = 0$ $\log a ^{n} = n \log a = n f ( a ) + n g ( a )$에서 $n g ( a ) = 0$이고 $n f ( a )$는 정수이므로 $g ( a ^{n} ) = 0$이다.