집합의 분할

[출제의도] 집합의 분할을 이해하고 분할하는 방법의 수를 구한다. 원소의 개수가 $8$인 집합 $A$를 공집합이 아닌 $2$개의 서로소인 부분집합으로 분할하는 방법의 수는 원소의 개수가 $1$인 집합과 $7$인 집합, 원소의 개수가 $2$인 집합과 $6$인 집합, 원소의 개수가 $3$인 집합과 $5$인 집합, 원소의 개수가 $4$인 두 개의 집합으로 분할하는 경우의 수를 모두 더한 값과 같다. ⅰ) 원소의 개수가 $1$인 집합과 원소의 개수가 $7$인 집합으로 분할하는 방법의 수 집합 $A$에서 원소가 $1$개인 집합을 선택하는 방법의 수와 같으므로 ${} _{8} \mathrm{C} _{1} = 8$ ⅱ) 원소의 개수가 $2$인 집합과 원소의 개수가 $6$인 집합으로 분할하는 방법의 수 집합 $A$에서 원소가 $2$개인 집합을 선택하는 방법의 수와 같으므로 ${} _{8} \mathrm{C} _{2} = 28$ ⅲ) 원소의 개수가 $3$인 집합과 원소의 개수가 $5$인 집합으로 분할하는 방법의 수 집합 $A$에서 원소가 $3$개인 집합을 선택하는 방법의 수와 같으므로 ${} _{8} \mathrm{C} _{3} = 56$ ⅳ) 원소의 개수가 $4$인 두 개의 집합으로 분할하는 방법의 수 $8$개의 원소 중 $4$개를 택하여 하나의 집합을 만들고, 남은 $4$개의 원소로 다른 한 집합을 만들면 중복되는 경우가 $2 !$개씩 나타나므로 그 경우의 수는 $\displaystyle {} _{8} \mathrm{C} _{4} \times \frac{1}{2 !} = 35$ ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)로부터 구하는 방법의 수는 $8 + 28 + 56 + 35 = 127$ [다른풀이] 원소의 개수가 $8$인 집합 $A$의 부분집합의 개수는 $2 ^{8} = 256$ 집합 $A$의 부분집합 중 공집합 또는 전체집합이 아닌 부분집합의 개수는 $2 ^{8} - 2 = 254$ 따라서 두 개의 부분집합으로 분할하는 방법의 수는 $\displaystyle \frac{254}{2} = 127$ [참고] 일반적으로 원소의 개수가 $n$($n$은 자연수)인 집합을 공집합이 아닌 $2$개의 서로소인 부분집합으로 분할하는 방법의 수는 $\displaystyle \frac{2 ^{n} - 2}{2} = 2 ^{n - 1} - 1$