집합 원소 배열 최댓값

[출제의도] 조건으로 제시된 집합을 이용하여 문제를 해결한다. 집합 $A$의 모든 원소의 합이 $100$이므로 집합 $A$에 $25$ 이상인 원소가 적어도 $2$개 포함되어 있어야 한다. 전체집합 $U$에서 $25$ 이상인 원소는 $25$, $26$, $28$, $29$뿐이다. (ⅰ) 집합 $A$에 $25$ 이상의 원소가 $3$개만 속한 경우 $26$, $28$, $29$가 속한 경우: $A = \left\{ 17 , 26 , 28 , 29 \right\}$ $25$, $26$, $29$가 속한 경우: $A = \left\{ 20 , 25 , 26 , 29 \right\}$ $25$, $28$, $29$ 또는 $25$, $26$, $28$이 속한 경우: 원소의 합이 $100$이기 위해서는 나머지 한 원소가 $3$의 배수가 되어야 한다. 그런데 $3$의 배수는 전체집합 $U$의 원소가 아니므로 조건을 만족시키는 집합 $A$가 존재하지 않는다. (ⅱ) 집합 $A$에 $25$ 이상의 원소가 $2$개만 속한 경우 $25$보다 작은 전체집합 $U$의 원소 중 가장 큰 두 원소의 합은 $22 + 23 = 45$이다. 그러므로 네 원소의 합이 $100$이 되기 위해서는 $25$ 이상인 두 원소의 합이 $55$ 이상이어야 한다. $28$, $29$가 속한 경우:　$A = \left\{ 20 , 23 , 28 , 29 \right\}$ $26$, $29$가 속한 경우:　$A = \left\{ 22 , 23 , 26 , 29 \right\}$ 따라서 위의 네 집합에 대하여 $x _{4} - x _{3} + x _{2} - x _{1}$의 값은 각각 $10$, $8$, $4$, $4$이고 이 중 최댓값은 $10$이다. [다른 풀이] $x _{1} + x _{2} + x _{3} + x _{4} = 100$에서 $x _{1} + x _{3} = 100 - ( x _{2} + x _{4} )$ $x _{4} - x _{3} + x _{2} - x _{1}$$= x _{4} + x _{2} - ( x _{3} + x _{1} )$$= x _{4} + x _{2} - \{ 100 - ( x _{2} + x _{4} ) \}$$= 2 ( x _{2} + x _{4} ) - 100$ 이 값이 최대가 되기 위해서는 $x _{2} + x _{4}$의 값이 최대가 되어야 하므로 $x _{4} = 29$이다. 그런데 $x _{4} > x _{3} > x _{2}$에서 $x _{2}$는 $28$이 될 수 없으므로 $x _{3} = 28$, $x _{2} = 26$이다. 따라서 최댓값은 $2 \times ( 29 + 26 ) - 100$$= 10$이다.