진리집합의 포함 관계

$P \neq \emptyset$이려면 $x ^{2} - 4 x + a + 2 \leq 0$을 만족시키는 실수 $x$가 존재해야 한다. 이차방정식 $x ^{2} - 4 x + a + 2 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = \left( - 4 \right) ^{2} - 4 \left( a + 2 \right)$이고 $D \geq 0$이어야 하므로 $\left( - 4 \right) ^{2} - 4 \left( a + 2 \right) \geq 0$에서 $a \leq 2$ $P \neq \emptyset$가 되도록 하는 자연수 $a$의 값은 $\mathrm{1}$, $\mathrm{2}$ 또한 $0 < \left| x - b \right| \leq 4$에서 $Q = \left\{ x \left| b - 4 \leq x < b \right. \right.$ 또는 $b < x \leq b + 4 \}$ (ⅰ) $a = 1$일 때 $x ^{2} - 4 x + 3 = \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right) \leq 0$에서 $P = \left\{ x \left| 1 \leq x \leq 3 \right\} \right.$이므로 $P \subset Q$이려면 $P \subset \left\{ x \left| b - 4 \leq x < b \right\} \right.$이거나 $P \subset \left\{ x \left| b < x \leq b + 4 \right\} \right.$이어야 한다. ($\mathrm{a}$) $P \subset \left\{ x | b - 4 \leq x < b \right\}$일 때

$b - 4 \leq 1$, $3 < b$에서 $3 < b \leq 5$이므로 $P \subset Q$가 되도록 하는 자연수 $b$의 값은 $\mathrm{4}$, $\mathrm{5}$ 그러므로 $P \neq \emptyset$, $P \subset Q$가 되도록 하는 두 자연수 $a$, $b$의 모든 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( 1 , 4 \right)$, $\left( 1 , 5 \right)$ ($\mathrm{b}$) $P \subset \left\{ x \left| b < x \leq b + 4 \right\} \right.$일 때

$b < 1$, $3 \leq b + 4$에서 $- 1 \leq b < 1$이므로 $P \subset Q$가 되도록 하는 자연수 $b$의 값은 존재하지 않는다. (ⅱ) $a = 2$일 때 $x ^{2} - 4 x + 4 = \left( x - 2 \right) ^{2} \leq 0$에서 $P = \left\{ 2 \right\}$이므로 $P \subset Q$이려면 $b - 4 \leq 2 < b$ 또는 $b < 2 \leq b + 4$ 이어야 하므로 $2 < b \leq 6$ 또는 $- 2 \leq b < 2$ $P \subset Q$가 되도록 하는 자연수 $b$의 값은 $1$, $3$, $4$, $5$, $6$ 그러므로 $P \neq \emptyset$,$P \subset Q$가 되도록 하는 두 자연수 $a$, $b$의 모든 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( 2 , 1 \right)$, $\left( 2 , 3 \right)$, $\left( 2 , 4 \right)$, $\left( 2 , 5 \right)$, $\left( 2 , 6 \right)$ 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 모든 순서쌍 $\left( a , b \right)$의 개수는 $\mathrm{7}$