진법 변환과 자릿수 계산

이진법으로 표현된 진수 $x _{(2)}$의 자리수는 $\log _{2} x _{(2)}$의 지표보다 $1$만큼 크다. 그러므로 이진법으로 표현했을 때 $101$자리수가 되기 위해서 $100 \leq \log _{2} x < 101$ 를 만족해야 한다. 마찬가지로 $5$진법으로 표현했을 때 진수의 자리수는 밑이 $5$인 로그의 지표로부터 구할 수 있다. $2 ^{100} \leq x < 2 ^{101}$ 이므로 밑이 $5$인 로그를 취하면 $100 \log _{5} 2 \leq \log _{5} x < 101 \log _{5} 2$ $\displaystyle \log _{5} 2 = \frac{\log 2}{\log 5} = \frac{0.3010}{0.699} = 0.43 \cdots$ 이므로 $43. \cdots \leq \log _{5} x < 43. \cdots$ 따라서, $44$자리수