직육면체를 정육면체로

$3$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 밑면의 가로의 길이와 세로의 길이가 각각 $n ^{2} + 3 n$, $n + 1$이고 높이가 $n ^{3} + 3 n ^{2} + 2 n + 2$인 직육면체가 있다. 이 직육면체를 한 모서리의 길이가 $n$인 정육면체로 조각낼 때, 한 모서리의 길이가 $n$인 정육면체의 최대 개수는? (단, 남은 조각을 붙여서 정육면체를 만들 수는 없다.) [3점]

$n ^{2} + 3 n$ $n ^{3} + 3 n ^{2} + 2 n + 2$

①$n ( n + 1 ) ( n + 2 )$②$n ( n + 1 ) ( n + 3 )$③$( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )$④$( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 4 )$⑤$( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 )$