기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

직육면체 삼각형 정사영

문제

그림과 같이 AB‾=AD‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = {\overline{AD}}이고 AE‾=15\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = \sqrt{15}인 직육면체 ABCD−EFGH\mathrm{ABCD} - EFGH가 있다. 선분 BC\mathrm{BC} 위의 점 P\mathrm{P}와 선분 EF\mathrm{EF} 위의 점 Q\mathrm{Q}에 대하여 삼각형 PHQ\mathrm{PHQ}의 평면 EFGH\mathrm{EFGH} 위로의 정사영은 한 변의 길이가 44인 정삼각형이다. 삼각형 EQH\mathrm{EQH}의 평면 PHQ\mathrm{PHQ} 위로의 정사영의 넓이는? [4점]

①13\displaystyle \frac{1}{3}②23\displaystyle \frac{2}{3}③11④43\displaystyle \frac{4}{3}⑤53\displaystyle \frac{5}{3}

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④

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해설

[출제의도] 정사영을 활용하여 문제해결하기

점 P\mathrm{P}에서 평면 EFGH\mathrm{EFGH}에 내린 수선의 발을 P′\mathrm{P}', 점 P′\mathrm{P}'에서 선분 HQ\mathrm{HQ}에 내린 수선의 발을 M\mathrm{M}이라 하면 PP′‾⊥(평면EFGH)\displaystyle {\overline{\mathrm{PP}'}} \perp \left( \text{평면} \mathrm{EFGH} \right)이고 P′M‾⊥HQ‾\displaystyle {\overline{\mathrm{P}' M}} \mathrm{\perp} {\overline{\mathrm{HQ}}}이므로 PM‾⊥HQ‾\displaystyle {\overline{\mathrm{PM}}} \mathrm{\perp} {\overline{\mathrm{HQ}}} PP′‾=15\displaystyle \mathrm{\overline{PP'}} \mathit{=} \sqrt{15}, P′M‾=23\displaystyle \mathrm{\overline{P' M}} \mathit{=} 2 \sqrt{3} 이므로 PM‾=33\displaystyle \mathrm{\overline{PM}} \mathit{=} 3 \sqrt{3} ∠PMP′=θ\mathrm{\angle} PMP' = \mathrm{\theta}라 하면 cos⁡θ=23\displaystyle \cos \theta = \frac{2}{3}

EH‾=a\displaystyle \mathrm{\overline{EH}} \mathit{=} a, EQ‾=b\displaystyle \mathrm{\overline{EQ}} \mathit{=} b라 하자. GP′‾=b\displaystyle \mathrm{\overline{GP'}} \mathit{=} b, FP′‾=FQ‾=a−b\displaystyle \mathrm{\overline{FP'}} \mathit{=} \mathrm{\overline{FQ}} \mathit{=} a - b HQ‾=QP′‾=4\displaystyle \mathrm{\overline{HQ}} \mathit{=} \mathrm{\overline{QP'}} = 4이므로 a−b=22\displaystyle a - b = 2 \sqrt{2}, a2+b2=16a ^{2} + b ^{2} = 16에서 ab=4ab = 4 평면 EQH\mathrm{EQH}와 평면 PHQ\mathrm{PHQ}가 이루는 예각의 크기가 θ\theta이므로 삼각형 EQH\mathrm{EQH}의 넓이를 SS, 삼각형 EQH\mathrm{EQH}의 평면 PHQ\mathrm{PHQ} 위로의 정사영의 넓이를 S′S'이라 하면 S′=Scos⁡θS' = S \cos \theta이다. 따라서 S′=12abcos⁡θ=12×4×23=43\displaystyle S' = \frac{1}{2} ab \cos \theta = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

태그

#정사영#이면각

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