직육면체 점과 직선 거리

점 ${\mathrm{A}}$에서 평면 ${\mathrm{EFGH}}$에 내린 수선의 발은 점 ${\mathrm{E}}$이고, 점 ${\mathrm{E}}$에서 직선 ${\mathrm{FH}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{P}}$라 하면 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} \perp {\overline{\mathrm{FH}}}$ 따라서 점 ${\mathrm{A}}$와 직선 ${\mathrm{FH}}$ 사이의 거리는 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}}$ 직각삼각형 ${\mathrm{EFH}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{EF}}} = {\overline{\mathrm{AB}}} = 10$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{EH}}} = {\overline{\mathrm{AD}}} = 5$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FH}}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{EF}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{EH}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{10 ^{2} + 5 ^{2}}$$\displaystyle = 5 \sqrt{5}$ 이고 $\triangle {\mathrm{EFH}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{EF}}} \times {\overline{\mathrm{EH}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{FH}}} \times {\overline{\mathrm{EP}}}$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = \frac{1}{2} \times 5 \sqrt{5} \times {\overline{\mathrm{EP}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{EP}}}$$\displaystyle = \frac{50}{5 \sqrt{5}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{5}$ 직각삼각형 ${\mathrm{AEP}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}} = 1$이므로 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{AE}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{EP}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{1 ^{2} + \left( 2 \sqrt{5} \right) ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{21}$