기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

직육면체 교선 각

문제

그림과 같이 AB‾=2,AD‾=3,AE‾=4\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 2 , \overline{\mathrm{AD}} = 3 , \overline{\mathrm{AE}} = 4 인 직육면체 ABCD−EFGH\mathrm{ABCD} - EFGH에서 평면 AFGD\mathrm{AFGD}와 평면 BEG\mathrm{BEG}의 교선을 ll이라 하자. 직선 ll과 평면 EFGH\mathrm{EFGH}가 이루는 예각의 크기를 θ\theta라 할 때, cos⁡2θ\cos ^{2} \theta의 값은? [4점]

①17\displaystyle \frac{1}{7}②27\displaystyle \frac{2}{7}③37\displaystyle \frac{3}{7}④47\displaystyle \frac{4}{7}⑤57\displaystyle \frac{5}{7}

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⑤

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해설

[출제의도] 공간도형의 성질 이해하기

선분 AF\mathrm{AF}와 선분 BE\mathrm{BE}의 교점을 점 M\mathrm{M}이라 하면, 평면 AFGD\mathrm{AFGD}와 평면 BEG\mathrm{BEG}의 교선은 직선GM\mathrm{GM}이다. 점 M\mathrm{M}에서 평면 EFGH\mathrm{EFGH}에 내린 수선의 발을 N\mathrm{N}이라 하자. GF‾=3,FN‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{GF}} = 3 , \overline{\mathrm{FN}} = 1, MN‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{MN}} = 2이므로 GN‾=10\displaystyle \overline{\mathrm{GN}} = \sqrt{10}, GM‾=14\displaystyle \overline{\mathrm{GM}} = \sqrt{14} cos⁡θ=GN‾GM‾=57\displaystyle \cos \theta = \frac{\mathrm{\overline{GN}}}{\mathrm{\overline{GM}}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} ∴cos⁡2θ=57\displaystyle \therefore \cos ^{2} \theta = \frac{5}{7}

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#교선#직선과 평면의 각

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