기하공간도형과 공간좌표수능 기출기본 문제 (3점 중반)

직육면체 대각선과 면의 각

문제

그림과 같이 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{BF} = 1 , \overline{AD} = 2$ 인 직육면체 $\mathrm{ABCD} - EFGH$ 에서 대각선 $\mathrm{AG}$ 가 세 면 $\mathrm{ABCD} ,$ $\mathrm{BFGC} ,$ $\mathrm{ABFE}$ 와 이루는 각의 크기를 각각 $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ 라고 할 때, $\cos ^{2} \alpha + \cos ^{2} \beta + \cos ^{2} \gamma$ 의 값은? [3점]

① $\displaystyle \frac{3}{2}$ ② $\displaystyle \frac{5}{3}$ ③ $2$ ④ $\displaystyle \frac{7}{3}$ ⑤ $\displaystyle \frac{5}{2}$

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③

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해설

$\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{BF} = 1$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = 2$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = \sqrt{2}$ , $\displaystyle \mathrm{\overline{BG}} = \sqrt{5}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \sqrt{5}$ , $\displaystyle \mathrm{\overline{AG}} = \sqrt{6}$ $\displaystyle \cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$ , $\displaystyle \cos \beta = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$ , $\displaystyle \cos \gamma = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$ $\therefore \cos ^{2} \alpha + \cos ^{2} \beta + \cos ^{2} \gamma = 2$

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