직육면체 최단경로 이면각

주어진 직육면체의 면 위에 점$\mathrm{E}$에서부터 두 모서리 $\mathrm{A} B$와 $\mathrm{B} C$를 지나고 점$\mathrm{G}$에 이르는 최단거리의 선을 그으려면 아래의 일부전개도에서 선분$\mathrm{E} G$ 일 때가 최소이므로

$\displaystyle \overline{\mathrm{P}} E = \overline{\mathrm{Q}} G = 2 \sqrt{2} , \overline{\mathrm{P}} Q = 3 \sqrt{3}$이므로 아래 등변사다리꼴 $\mathrm{E} PQG$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{E}} G = 5 \sqrt{2}$이므로

넓이 $\displaystyle \therefore \mathrm{S} = \frac{1}{2} \left( 3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} \right) \times \sqrt{6} = 8 \sqrt{3}$ 등변사다리꼴 $\mathrm{E} PQG$의 밑면$\mathrm{E} FGH$위로 정사영을 내리면 점$\mathrm{P}$의 정사영의 발을 $\mathrm{P}'$, 점$\mathrm{Q}$의 정사영의 발을 $\mathrm{Q}'$라 하면 아래 등변사다리꼴 $\mathrm{E} \mathrm{P}' \mathrm{Q}' \mathrm{G}$에서

넓이 $\displaystyle \therefore \mathrm{S}' = \frac{1}{2} \left( 3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} \right) \times \sqrt{2} = 8$ $\therefore \mathrm{S}' = \mathrm{S} \cos \theta$에서 $\displaystyle \therefore \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$