미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

직선의 기울기와 외접원

문제

그림과 같이 좌표평면 위의 제22사분면에 있는 점 A\mathrm{A}를 지나고 기울기가 각각 m1m _{1}, m2m _{2} (0<m1<m2<10 < m _{1} < m _{2} < 1)인 두 직선을 l1l _{1}, l2l _{2}라 하고, 직선 l1l _{1}을 yy축에 대하여 대칭이동한 직선을 l3l _{3}이라 하자. 직선 l3l _{3}이 두 직선 l1l _{1}, l2l _{2}와 만나는 점을 각각 B\mathrm{B}, C\mathrm{C}라 하면 삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) AB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}=12= 12, AC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}}=9= 9 (나) 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 외접원의 반지름의 길이는 152\displaystyle \frac{15}{2}이다.

78×m1×m278 \times m _{1} \times m _{2}의 값을 구하시오. [4점]

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18

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해설

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 추론하기 두 직선 l1l _{1}, l2l _{2}가 xx축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 α\alpha, β\beta라 하면 m1m _{1}=tan⁡α= \tan \alpha, m2m _{2}=tan⁡β= \tan \beta이고 0<m1<m2<10 < m _{1} < m _{2} < 1에서 0<α<β<π4\displaystyle 0 < \alpha < \beta < \frac{\pi}{4}이다. 직선 l3l _{3}은 직선 l1l _{1}을 yy축에 대하여 대칭이동한 직선이므로 ∠CBA\angle \mathrm{CBA}=2α= 2 \alpha, ∠BAC\angle \mathrm{BAC}=β−α= \beta \mathit{-} \alpha ∠ACB\angle \mathrm{ACB}=π−2α−(β−α)= \pi - 2 \alpha - \left( \beta - \alpha \right)=π−(α+β)= \pi - \left( \alpha + \beta \right) 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 사인법칙에 의하여 9sin⁡2α\displaystyle \frac{9}{\sin 2 \alpha}=12sin⁡{π−(α+β)}\displaystyle = \frac{12}{\sin \left\{ \pi - \left( \alpha + \beta \right) \right\}}=15= 15 ⋯⋯\cdots \cdots ㉠ sin⁡2α\sin 2 \alpha=35\displaystyle = \frac{3}{5}이고 0<2α<π2\displaystyle 0 < 2 \alpha < \frac{\pi}{2}이므로 cos⁡2α\cos 2 \alpha=1−(35)2\displaystyle = \sqrt{1 - \left( \frac{3}{5} \right) ^{2}}=45\displaystyle = \frac{4}{5}, tan⁡2α\tan 2 \alpha=34\displaystyle = \frac{3}{4} tan⁡2α\tan 2 \alpha=tan⁡(α+α)= \tan \left( \alpha + \alpha \right)=tan⁡2α1−tan⁡2α\displaystyle = \frac{\tan 2 \alpha}{1 - \tan ^{2} \alpha}=34\displaystyle = \frac{3}{4} 3tan⁡2α+8tan⁡α−33 \tan ^{2} \alpha + 8 \tan \alpha - 3=0= 0 0<α<π4\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{4}이므로 m1m _{1}=tan⁡α= \tan \alpha=13\displaystyle = \frac{1}{3} ㉠에서 sin⁡{π−(α+β)}\sin \left\{ \pi - \left( \alpha + \beta \right) \right\}=sin⁡(α+β)= \sin \left( \alpha + \beta \right)=45\displaystyle = \frac{4}{5}이고 0<α+β<π2\displaystyle 0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}이므로 cos⁡(α+β)\cos \left( \alpha + \beta \right)=1−(45)2\displaystyle = \sqrt{1 - \left( \frac{4}{5} \right) ^{2}}=35\displaystyle = \frac{3}{5}, tan⁡(α+β)\tan \left( \alpha + \beta \right)=43\displaystyle = \frac{4}{3} tan⁡(α+β)\tan \left( \alpha + \beta \right)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\displaystyle = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}=13+tan⁡β1−13tan⁡β\displaystyle = \frac{\frac{1}{3} + \tan \beta}{1 - \frac{1}{3} \tan \beta}=43\displaystyle = \frac{4}{3} 1+3tan⁡β1 + 3 \tan \beta=4−43tan⁡β\displaystyle = \mathit{4} - \frac{4}{3} \tan \beta 133tan⁡β\displaystyle \frac{13}{3} \tan \beta=3= 3에서 m2m _{2}=tan⁡β= \tan \beta=913\displaystyle = \frac{9}{13} 따라서 78×m1×m278 \times m _{1} \times m _{2}=78×13×913\displaystyle = 78 \times \frac{1}{3} \times \frac{9}{13}=18= 18

태그

#탄젠트 덧셈정리#사인법칙

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