직선이 제자리로 오는 이동

직선 $l : y = mx + n$을 $x$축의 방향으로 $3$만큼, $y$축의 방향으로 $- 1$만큼 평행이동하면 $y + 1 = m ( x - 3 ) + n$, 곧 $y = mx - 3 m + n - 1$ 이 직선을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동하면 $x$와 $y$를 서로 바꾸어 $x = my - 3 m + n - 1$ $m = 0$이면 이 도형은 $x = n - 1$로 $y$축에 평행한 직선이므로 처음의 직선과 일치할 수 없다. $m \ne 0$이므로 $y$에 대하여 풀면 $\displaystyle y = \frac{1}{m} x + \frac{3 m - n + 1}{m}$ 이 직선이 $y = mx + n$과 일치하므로 기울기에서 $\displaystyle \frac{1}{m} = m$, 곧 $m ^{2} = 1$이므로 $m = 1$ 또는 $m = - 1$ $m = 1$일 때 $\displaystyle \frac{3 - n + 1}{1} = n$에서 $4 - n = n$, 곧 $n = 2$ $m = - 1$일 때 $\displaystyle \frac{- 3 - n + 1}{- 1} = n$에서 $2 + n = n$이 되어 성립하지 않는다. 따라서 $m = 1$, $n = 2$이므로 $m + n = 3$