직선과 로그 절댓값 곡선

$\displaystyle y = | \log _{2} x | = {\begin{cases} \log _{2} x ( x \geq 1 ) \\ - \log _{2} x ( 0 < x < 1 ) \end{cases}}$ ㄱ. (거짓) $\displaystyle x = \frac{1}{4}$일 때, $\displaystyle y = - \log _{2} \frac{1}{4} = 2$이므로 곡선 $y = | \log _{2} x |$는 점 $\displaystyle \left( \frac{1}{4} , 2 \right)$를 지난다.

위의 그림에서 $y = - x + 2$와 $y = | \log _{2} x |$의 그래프의 교점의 $x$좌표인 $a _{2}$는 $\displaystyle \frac{1}{4}$보다 크다. 즉, $\displaystyle a _{2} > \frac{1}{4}$ ㄴ. (참)

위의 그림에서 $y = - x + n$과 $y = | \log _{2} x |$의 그래프의 교점의 $x$좌표인 $a _{n}$은 $y = - x + n + 1$과 $y = | \log _{2} x |$의 그래프의 교점의 $x$좌표인 $a _{n+1}$보다 크다. ∴ $a _{n+1} < a _{n}$ ∴ $\displaystyle 0 < \frac{a _{n+1}}{a _{n}} < 1$ ㄷ. (참)

위의 그림에서 $\log _{2} b _{n} < \log _{2} n$ ∴ $n - \log _{2} b _{n} > n - \log _{2} n \cdots \cdots \text{㉠}$ 이때, $- b _{n} + n = \log _{2} b _{n}$에서 $n - \log _{2} b _{n} = b _{n} \cdots \cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡에서 $b _{n} > n - \log _{2} n$ 한편, 위의 그림에서 $b _{n} < n$이므로 $n - \log _{2} n < b _{n} < n$ 위의 부등식을 자연수 $n$으로 나누면 $\displaystyle 1 - \frac{\log _{2} n}{n} < \frac{b _{n}}{n} < 1$ 따라서, 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.