기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

직선과 평면의 각

문제

그림과 같이 한 모서리의 길이가 2인 정육면체 ABCD−EFGHABCD - EFGH의 꼭짓점 DD에서 선분 EGEG에 내린 수선의 발을 II라 하자. 직선 DIDI와 평면 AEGCAEGC가 이루는 예각의 크기를 θ\theta라 할 때, cos⁡θ\cos \theta의 값은? [4점]

①33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}②23\displaystyle \frac{2}{3}③53\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}④63\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}⑤73\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}

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④

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해설

[출제의도] 삼수선의 정리를 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다.

선분 ACAC의 중점을 MM이라 하면 삼수선의 정리에 의해 (직선DMDM)⊥\perp(평면AEGCAEGC) 따라서 cos⁡θ=IM‾DI‾\displaystyle \cos \theta = \frac{{\overline{IM}}}{{\overline{DI}}} 삼수선의 정리에 의해 (선분HIHI)⊥\perp(선분EGEG) 이므로 점 II는 선분 EGEG의 중점이다. DI‾=DH‾2+HI‾2=4+2=6\displaystyle {\overline{DI}} = \sqrt{{\overline{DH}} ^{2} + {\overline{HI}} ^{2}} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6} IM‾=2\displaystyle {\overline{IM}} = 2 따라서 cos⁡θ=IM‾DI‾=26=63\displaystyle \cos \theta = \frac{{\overline{IM}}}{{\overline{DI}}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

태그

#직선과 평면이 이루는 각#정육면체

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