대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

직선으로 나눈 영역

문제

어떤 직사각형의 내부에 가로 또는 세로에 평행한 nn개의 직선을 그어 분할되는 영역의 최대 개수를 ana _{n}이라 하자. 예를 들면, n=3n = 3인 경우는 [그림1], [그림2], [그림3], [그림4]와 같이 4가지이고, 그 중에 영역의 개수가 최대일 때는 [그림2] 또는 [그림3]의 경우이므로 a3=6a _{3} = 6이다.

이 때, a25a _{25}의 값은? [4점] ①156156②169169③182182④196196⑤210210

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③

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열에 관한 문제 해결하기 a1=2,a2=4,a3=6,a4=9,a5=12,⋯a _{1} = 2 , a _{2} = 4 , a _{3} = 6 , a _{4} = 9 , a _{5} = 12 , \cdots에서 {a2n−1}\{ a _{2n-1} \}이 계차수열이 되므로 a2n−1=2+∑k=1n−1(2k+2)=2+2⋅n(n−1)2+2n−2=n(n+1)\displaystyle \begin{aligned} a _{2n-1} & = 2 + \sum\limits _{k=1} ^{n-1} ( 2 k + 2 ) \\ & = 2 + 2 \cdot \frac{n ( n - 1 )}{2} + 2 n - 2 \\ & = n ( n + 1 ) \end{aligned} 이 때, 2n−1=252 n - 1 = 25에서 n=13n = 13이므로 a25=13×14=182a _{25} = 13 \times 14 = 182

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