직선 y=x 위의 점과 거리의 합

$1 < 4$, $- 2 < 9$이므로 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 모두 직선 $y = x$의 아래쪽에 있다. 즉, 직선 $y = x$에 대하여 같은 쪽에 있다. 점 $\mathrm{A} ( 4 , 1 )$의 직선 $y = x$에 대한 대칭점을 $\mathrm{A}'$이라 하면 $\mathrm{A}' ( 1 , 4 )$이고, 직선 $y = x$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{A}' P}$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}} = \overline{\mathrm{A}' P} + \overline{\mathrm{BP}} \geq \overline{\mathrm{A}' B}$ 점 $\mathrm{A}'$은 직선 $y = x$의 위쪽, 점 $\mathrm{B}$는 아래쪽에 있으므로 선분 $\mathrm{A}' B$는 직선 $y = x$와 만나고, 그 교점을 $\mathrm{P}$로 잡으면 등호가 성립한다. $\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B} = \sqrt{( 9 - 1 ) ^{2} + ( - 2 - 4 ) ^{2}} = \sqrt{64 + 36} = 10$ 따라서 최솟값은 $10$이다.