기하평면벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

직선 위 점 거리 최소

문제

점 (32,0)\displaystyle \left( 3 \sqrt{2} , 0 \right)을 지나고 방향벡터가 u⃗=(1,22)\displaystyle {\vec{u}} = \left( 1 , 2 \sqrt{2} \right)인 직선 위의 점 P{\mathrm{P}}에 대하여 ∣OP⃗∣\left| {\vec{\mathrm{OP}}} \right|의 최솟값은? (단, O{\mathrm{O}}는 원점이다.) [3점] ①83\displaystyle \frac{8}{3}②33③103\displaystyle \frac{10}{3}④113\displaystyle \frac{11}{3}⑤44

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⑤

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해설

점 (32,0)\displaystyle \left( 3 \sqrt{2} , 0 \right)을 지나고 방향벡터가 u⃗=(1,22)\displaystyle {\vec{u}} = \left( 1 , 2 \sqrt{2} \right)인 직선의 방정식은 x−321=y22\displaystyle \frac{x - 3 \sqrt{2}}{1} = \frac{y}{2 \sqrt{2}}이므로 22x−y−12=0\displaystyle 2 \sqrt{2} x - y - 12 = 0 원점 O{\mathrm{O}}와 직선 22x−y−12=0\displaystyle 2 \sqrt{2} x - y - 12 = 0 사이의 거리는 ∣−12∣(22)2+(−1)2=123=4\displaystyle \frac{\left| - 12 \right|}{\sqrt{\left( 2 \sqrt{2} \right) ^{2} + \left( - 1 \right) ^{2}}} = \frac{12}{3} = 4이므로 ∣OP⃗∣≥4\left| {\vec{\mathrm{OP}}} \right| \geq 4 따라서 ∣OP⃗∣\left| {\vec{\mathrm{OP}}} \right|의 최솟값은 44

태그

#직선의 벡터방정식#거리

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