미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

직선 위 격자점 급수

문제

좌표평면에서 직선 x−3y+3=0x - 3 y + 3 = 0 위에 있는 점 중에서 xx좌표와 yy좌표가 자연수인 모든 점의 좌표를 각각 (a1,b1),(a2,b2),⋯ ,(an,bn),⋯( a _{1} , b _{1} ) , ( a _{2} , b _{2} ) , \cdots , ( a _{n} , b _{n} ) , \cdots 이라 할 때, 무한급수 ∑n=1∞1anbn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{^{\infty}} \frac{1}{a _{n} b _{n}}의 값은? (단, a1<a2<⋯<an<⋯a _{1} < a _{2} < \cdots < a _{n} < \cdots 이다.) [3점] ①11②12\displaystyle \frac{1}{2}③13\displaystyle \frac{1}{3}④14\displaystyle \frac{1}{4}⑤15\displaystyle \frac{1}{5}

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③

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해설

직선의 방정식은 y=13x+1\displaystyle y = \frac{1}{3} x + 1이므로 xx는 3의 배수이다. x=3nx = 3 n로 놓으면 y=n+1y = n + 1이다. (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots) 따라서 an=3na _{n} = 3 n, bn=n+1b _{n} = n + 1이다. 1anbn=13n(n+1)=13(1n−1n+1)\displaystyle \frac{1}{a _{n} b _{n}} = \frac{1}{3 n ( n + 1 )} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)이므로 ∑n=1∞1anbn=∑n=1∞13(1n−1n+1)\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{a _{n} b _{n}} = \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) =13lim⁡n→∞(1−1n+1)=13\displaystyle = \frac{1}{3} \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right) = \frac{1}{3}

태그

#부분분수#망원급수

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