기하공간벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

직선 평면 이등변삼각형

문제

좌표공간에서 직선 l:x−1=y2=1−z\displaystyle l : x - 1 = \frac{y}{2} = 1 - z와 평면 α\alpha가 점 A(1,0,1)A ( 1 , 0 , 1 )에서 수직으로 만난다. 평면 α\alpha위의 점 B(−1,a,a)B ( - 1 , a , a )와 직선 ll위의 점 CC에 대하여 삼각형 ABCABC가 이등변삼각형일 때, 점 CC에서 원점까지의 거리는 dd이다. d2d ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

평면 α\alpha의 방정식은 (x−1)+2y−(z−1)=0( x - 1 ) + 2 y - ( z - 1 ) = 0 점 BB가 평면 α\alpha 위의 점이므로, −1+2a−a=0- 1 + 2 a - a = 0 ∴a=1a = 1 따라서 AB‾=5\displaystyle {\overline{AB}} = \sqrt{5} 직선 위의 점 CC는 직선 ll 위의 점이므로 x−1=y2=1−z=k\displaystyle x - 1 = \frac{y}{2} = 1 - z = k라 하면 AC‾=k2+4k2+k2=5\displaystyle {\overline{AC}} = \sqrt{k ^{2} + 4 k ^{2} + k ^{2}} = \sqrt{5} ∴k2=56\displaystyle k ^{2} = \frac{5}{6} ∴ OC‾2=d=(1+k)2+(2k)2+(1−k)2=2+6k2=7\displaystyle {\overline{OC}} ^{2} = d = ( 1 + k ) ^{2} + ( 2 k ) ^{2} + ( 1 - k ) ^{2} = 2 + 6 k ^{2} = 7

태그

#직선#평면

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