직선 곡선 만나지 않을 확률

[출제의도] 여사건의 확률을 활용하여 문제 해결하기 모든 순서쌍 $\left( a , b \right)$의 개수는 $5 \times 5 = 25$이다. 직선 $y = ax + b$가 곡선 $y = f \left( x \right)$와 만나지 않는 사건을 $E$라 하면 사건 $E$의 여사건 $E ^{C}$는 직선 $y = ax + b$가 곡선 $y = f \left( x \right)$와 만나는 사건이다. 직선 $y = ax + b$와 곡선 $y = f \left( x \right)$가 만나기 위해서는 방정식 $\displaystyle - \frac{1}{2} x ^{2} + 3 x = ax + b$가 실근을 가져야 한다. 이차방정식 $x ^{2} + 2 ( a - 3 ) x + 2 b = 0$에서 $\displaystyle \frac{D}{4} = ( a - 3 ) ^{2} - 2 b \geq 0$ 위 부등식을 만족시키는 모든 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( 1 , 1 \right)$, $\left( 1 , 2 \right)$, $\left( 5 , 1 \right)$, $\left( 5 , 2 \right)$ 이므로 직선 $y = ax + b$와 곡선 $y = f \left( x \right)$가 서로 만날 확률은 $\displaystyle \frac{4}{25}$이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{E} ^{C} \right) = \frac{4}{25}$ $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{E} \right) = 1 - \mathrm{P} \left( \mathit{E} ^{C} \right) = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$ 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{E} \right) = \frac{21}{25}$