공통수학2직선의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

직선 BP 기울기

문제

좌표평면 위에서 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1이 xx축, yy축의 양의 부분과 만나는 점을 각각 A,B\mathrm{A} , B라 하자. 그림과 같이 제 11사분면에서 ∠AOP=60∘\angle \mathrm{AOP} = 60 ^\circ인 점 P\mathrm{P}를 원 위에 잡으면 직선 BP\mathrm{BP}의 기울기는 a+b3\displaystyle a + b \sqrt{3}이다. 이때 20(a2+b2)20 ( a ^{2} + b ^{2} )의 값을 구하시오. (단, aa, bb는 유리수이다.) [4점]

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100

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해설

[출제의도] 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 점 P\mathrm{P}에서 xx축에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라고 하자. ∠POH=60∘\angle \mathrm{POH} = 60 ^\circ이고 OP‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = 1이므로 OH‾=12,PH‾=32\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} = \frac{1}{2} , \overline{PH} = \frac{\sqrt{3}}{2}이다. ∴P(12,32)\displaystyle \therefore \mathrm{P} \left( \frac{1}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2} \right)

따라서 두 점 B(0,1),P(12,32)\displaystyle \mathrm{B} \left( 0 , 1 \right) , P \left( \frac{1}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2} \right)을 지나는 직선 BP\mathrm{BP}의 기울기 mm은 m=32−112−0=−2+3\displaystyle m = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - 1}{\frac{1}{2} - 0} = - 2 + \sqrt{3} a=−2a = - 2, b=1b = 1이므로 20(a2+b2)=20(4+1)=10020 ( a ^{2} + b ^{2} ) = 20 ( 4 + 1 ) = 100

태그

#기울기#단위원

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