직사각형과 원 넓이

[출제의도] 이차방정식을 이해하여 주어진 선분의 길이를 구한다. 점 $\mathrm{B}$를 중심으로 하고 점 $\mathrm{A}$를 지나는 원의 반지름의 길이가 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{B}} P = \mathit{a}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PC}} = \mathit{8} - a$ 점 $\mathrm{C}$를 중심으로 하고 점 $\mathrm{P}$를 지나는 원의 반지름의 길이가 $\displaystyle \mathrm{\overline{PC}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{C}} Q$$\displaystyle = \mathrm{\overline{PC}}$$= \mathit{8} - a$ $\triangle \mathrm{A} BP$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{AB}} \times \overline{BP}$$\displaystyle = \frac{1}{2} a ^{2}$ $\triangle \mathrm{P} CQ$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{P}} C \times \overline{\mathrm{C}} Q$$\displaystyle = \frac{1}{2} ( 8 - a ) ^{2}$ $\square \mathrm{ABCD} = \mathit{8} a$이므로 $\square \mathrm{APQD}$$= \square \mathrm{ABCD} - \triangle \mathrm{A} BP - \triangle \mathrm{P} CQ$ $\displaystyle = 8 a - \frac{1}{2} a ^{2} - \frac{1}{2} ( 8 - a ) ^{2}$ $\displaystyle = 8 a - \frac{1}{2} a ^{2} - \frac{1}{2} \left( a ^{2} - 16 a + 64 \right)$ $\displaystyle = 8 a - \frac{1}{2} a ^{2} - \frac{1}{2} a ^{2} + 8 a - 32$ $= \mathit{-} a ^{2} + 16 a - 32$ $\displaystyle = \frac{79}{4}$ $- 4 a ^{2} + 64 a - 128 - 79 = 0$ $4 a ^{2} - 64 a + 207 = 0$ $( 2 a - 9 ) ( 2 a - 23 ) = 0$ $\displaystyle a = \frac{9}{2}$ 또는 $\displaystyle a = \frac{23}{2}$ $4 < a < 8$이므로 $\displaystyle a = \frac{9}{2}$