미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

직사각형과 부채꼴 도형 급수

문제

그림과 같이 A1B1‾=3,B1C1‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} B _{1}}} = 3 , \overline{B _{1} C _{1}} = 1인 직사각형 OA1B1C1\mathrm{OA} _{1} B _{1} C _{1}이 있다. 중심이 C1\mathrm{C} _{1}이고 반지름의 길이가 B1C1‾\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} C _{1}}}인 원과 선분 OC1\mathrm{OC} _{1}의 교점을 D1,\mathrm{D} _{1} ,중심이 O\mathrm{O}이고 반지름의 길이가 OD1‾\displaystyle \mathrm{\overline{OD _{1}}}인 원과 선분 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}의 교점을 E1\mathrm{E} _{1}이라 하자. 직사각형 OA1B1C1\mathrm{OA} _{1} B _{1} C _{1}에 호 B1D1,\mathrm{B} _{1} D _{1} ,호 D1E1,\mathrm{D} _{1} E _{1} ,선분 B1E1\mathrm{B} _{1} E _{1}로 둘러싸인 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에 선분 OA1\mathrm{OA} _{1}위의 점 A2\mathrm{A} _{2}와 호 D1E1\mathrm{D} _{1} E _{1}위의 점 B2,\mathrm{B} _{2} ,선분 OD1\mathrm{OD} _{1}위의 점 C2\mathrm{C} _{2}와 점 O\mathrm{O}를 꼭짓점으로 하고 A2B2‾:B2C2‾=3:1\displaystyle \mathrm{\overline{A _{2} B _{2}}} : \overline{B _{2} C _{2}} = 3 : 1인 직사각형 OA2B2C2\mathrm{O} A _{2} B _{2} C _{2}를 그리고, 그림 R1R _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 OA2B2C2\mathrm{O} A _{2} B _{2} C _{2}에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n}의 값은? [4점]

①4−233−79π\displaystyle 4 - \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{7}{9} \pi②5−536−3536π\displaystyle 5 - \frac{5 \sqrt{3}}{6} - \frac{35}{36} \pi③6−3−76π\displaystyle 6 - \sqrt{3} - \frac{7}{6} \pi④7−736−4936π\displaystyle 7 - \frac{7 \sqrt{3}}{6} - \frac{49}{36} \pi⑤8−433−149π\displaystyle 8 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} - \frac{14}{9} \pi

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②

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해설

점 E1{\mathrm{E}} _{1}에서 선분 C1O{\mathrm{C}} _{1} \mathrm{O}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하면 직각삼각형 E1HO\mathrm{E} _{1} HO에서 E1H‾=1,E1O‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{E _{1} H}} = 1 , \overline{E _{1} O} = 2이므로 ∠E1OH=30∘\angle {\mathrm{E} _{1} OH} = 30 ^\circ이다. S1S _{1}은 직사각형 OA1B1C1\mathrm{OA} _{1} B _{1} C _{1}에서 부채꼴 C1B1D1\mathrm{C} _{1} B _{1} D _{1}, 부채꼴OE1D1\mathrm{OE} _{1} D _{1}, 삼각형 E1OA1\mathrm{E} _{1} OA _{1}을 제외한 부분의 넓이이므로 S1=3−π4−π3−32\displaystyle S _{1} = 3 - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}이다.

두 직사각형 OAnBnCn{\mathrm{OA}} _{n} {\mathrm{B}} _{n} {\mathrm{C}} _{n}과 OAn+1Bn+1Cn+1{\mathrm{OA}} _{n + 1} {\mathrm{B}} _{n + 1} {\mathrm{C}} _{n + 1}서로 닮은 사각형이다. 닮음비가 OBn‾:OBn+1‾=10×BnCn‾:2×BnCn‾=10:2\displaystyle \overline{{\mathrm{OB}} _{n}} : \overline{{\mathrm{OB}} _{n + 1}} = \sqrt{10} \times \overline{{\mathrm{B}} _{n} {\mathrm{C}} _{n}} : 2 \times \overline{{\mathrm{B}} _{n} {\mathrm{C}} _{n}} = \sqrt{10} : 2이므로 넓이의 비는 10:4=5:210 : 4 = 5 : 2가 된다. 따라서 SnS _{n}은 첫째항이 S1=3−32−712π\displaystyle S _{1} = 3 - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7}{12} \pi이고 공비가 25\displaystyle \frac{2}{5}인 등비수열이므로 lim⁡n→∞Sn=3−32−712π1−25=5−536−3536π\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n} = \frac{3 - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7}{12} \pi}{1 - \frac{2}{5}} = 5 - {5 \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{35}{36} \pi}

태그

#등비급수#도형의 닮음

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