직사각형과 부채꼴 반복 도형 급수

직사각형 $A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$에서 $\displaystyle \overline{A _{1} B _{1}} = 1 , \overline{A _{1} B _{1}} = 2$이다. 그림과 같이 선분 $A _{1} D _{1}$과 선분 $B _{1} C _{1}$의 중점을 각각 $M _{1} , N _{1}$이라 하자. 중심이 $N _{1}$, 반지름의 길이가 $\displaystyle \overline{B _{1} N _{1}}$이고 중심각의 크기가 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$인 부채꼴 $N _{1} M _{1} B _{1}$을 그리고, 중심이 $D _{1}$, 반지름의 길이가 $\displaystyle \overline{C _{1} D _{1}}$이고 중심각의 크기가 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$인 부채꼴 $D _{1} M _{1} C _{1}$을 그린다. 부채꼴 $N _{1} M _{1} B _{1}$의 호 $M _{1} B _{1}$과 선분 $M _{1} B _{1}$로 둘러싸인 부분과 부채꼴 $D _{1} M _{1} C _{1}$의 호 $M _{1} C _{1}$과 선분 $M _{1} C _{1}$로 둘러싸인 부분인 모양에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{1}$이라 하자. 그림 $R _{1}$에 선분 $M _{1} B _{1}$ 위의 점 $A _{2}$, 호 $M _{1} C _{1}$ 위의 점 $D _{2}$와 변 $B _{1} C _{1}$ 위의 두 점 $B _{2} , C _{2}$를 꼭짓점으로 하고 $\displaystyle \overline{A _{2} B _{2}} : \overline{A _{2} D _{2}} = 1 : 2$인 직사각형 $A _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$를 그리고, 직사각형 $A _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$에서 그림 $R _{1}$을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{2}$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R _{n}$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle \frac{25}{19} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right)$②$\displaystyle \frac{5}{4} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right)$③$\displaystyle \frac{25}{21} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right)$④$\displaystyle \frac{25}{22} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right)$⑤$\displaystyle \frac{25}{23} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right)$