직사각형과 부채꼴 반복 도형 급수

직사각형 $A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{1} B _{1}} = 1 , \overline{\mathrm{A} _{1} D _{1}} = 2$이다. 그림과 같이 선분 $\mathrm{A} _{1} D _{1}$과 선분 $\mathrm{B} _{1} C _{1}$의 중점을 각각 $\mathrm{M} _{1} , N _{1}$이라 하자. 중심이 $\mathrm{N} _{1}$, 반지름의 길이가 $\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{1} N _{1}}$이고 중심각의 크기가 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$인 부채꼴 $N _{1} M _{1} B _{1}$을 그리고, 중심이 $\mathrm{D} _{1}$, 반지름의 길이가 $\displaystyle \overline{\mathrm{C} _{1} D _{1}}$이고 중심각의 크기가 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$인 부채꼴 $D _{1} M _{1} C _{1}$을 그린다. 부채꼴 $N _{1} M _{1} B _{1}$의 호 $\mathrm{M} _{1} B _{1}$과 선분 $\mathrm{M} _{1} B _{1}$로 둘러싸인 부분과 부채꼴 $D _{1} M _{1} C _{1}$의 호 $\mathrm{M} _{1} C _{1}$과 선분 $\mathrm{M} _{1} C _{1}$로 둘러싸인 부분인 모양에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{1}$이라 하자. 그림 $R _{1}$에 선분 $\mathrm{M} _{1} B _{1}$ 위의 점 $\mathrm{A} _{2}$, 호$\mathrm{M} _{1} C _{1}$ 위의 점 $\mathrm{D} _{2}$와 변$\mathrm{B} _{1} C _{1}$ 위의 두 점 $\mathrm{B} _{2} , C _{2}$를 꼭짓점으로 하고 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{2} B _{2}} : \overline{\mathrm{A} _{2} D _{2}} = 1 : 2$인 직사각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$를 그리고, 직사각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$에서 그림 $R _{1}$을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{2}$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R _{n}$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S _{n}$라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle \frac{25}{19} ( \frac{\pi}{2} - 1 )$②$\displaystyle \frac{5}{4} ( \frac{\pi}{2} - 1 )$③$\displaystyle \frac{25}{21} ( \frac{\pi}{2} - 1 )$④$\displaystyle \frac{25}{22} ( \frac{\pi}{2} - 1 )$⑤$\displaystyle \frac{25}{23} ( \frac{\pi}{2} - 1 )$