직사각형 속 원 넓이 급수

아래와 같이 가로의 길이가 $6$이고 세로의 길이가 $8$인 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 직사각형 가로 길이의 $\displaystyle \frac{1}{3}$을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 $R _{1}$이라 하자. 그림 $R _{1}$에서 직사각형의 각 꼭짓점으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 대각선으로 하는 $4$개의 직사각형을 그린 후, 새로 그려진 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 새로 그려진 직사각형 가로 길이의 $\displaystyle \frac{1}{3}$을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 $R _{2}$라 하자. 그림 $R _{2}$에 있는 합동인 $4$개의 직사각형 각각에서 각 꼭짓점으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 대각선으로 하는 $4$개의 직사각형을 그린 후, 새로 그려진 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 새로 그려진 직사각형 가로 길이의 $\displaystyle \frac{1}{3}$을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 $R _{3}$이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R _{n}$에 있는 모든 원의 넓이의 합을 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}$의 값은? (단, 모든 직사각형의 가로와 세로는 각각 서로 평행하다.) [4점]

①$\displaystyle \frac{37}{9} \pi$②$\displaystyle \frac{34}{9} \pi$③$\displaystyle \frac{31}{9} \pi$④$\displaystyle \frac{28}{9} \pi$⑤$\displaystyle \frac{25}{9} \pi$