미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

직사각형 속 부채꼴 도형 급수

문제

그림과 같이 A1B1‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} B _{1}}} = 1, A1D1‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} D _{1}}} = 2인 직사각형 A1B1C1D1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}이 있다. 선분 A1D1\mathrm{A} _{1} D _{1}위의 B1C1‾=B1E1‾\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} C _{1}}} = \overline{B _{1} E _{1}}, C1B1‾=C1F1‾\displaystyle \mathrm{\overline{C _{1} B _{1}}} = \overline{C _{1} F _{1}}인 두 점 E1\mathrm{E} _{1}, F1\mathrm{F} _{1}에 대하여 중심이 B1\mathrm{B _{1}} 인 부채꼴 B1E1C1\mathrm{B _{1} E _{1} C _{1}}과 중심이 C1\mathrm{C _{1}}인 부채꼴 C1F1B1\mathrm{C _{1} F _{1} B _{1}}을 각각 직사각형 A1B1C1D1\mathrm{A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}}내부에 그리고, 선분 B1E1\mathrm{B _{1} E _{1}}과 C1F1\mathrm{C _{1} F _{1}}의 교점을 G1\mathrm{G _{1}}이라 하자. 두 선분 G1F1\mathrm{G _{1} F _{1}}, G1B1\mathrm{G _{1} B _{1}}과 호 F1B1\mathrm{F _{1} B _{1}}로 둘러싸인 부분과 두 선분 G1E1\mathrm{G _{1} E _{1}}, G1C1\mathrm{G _{1} C _{1}}과 호 E1C1\mathrm{E _{1} C _{1}}로 둘러싸인 부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1{R _{1}}이라 하자. 그림 R1{R _{1}}에서 선분 B1G1\mathrm{B _{1} G _{1}}위의 점 A2\mathrm{A _{2}}, 선분 C1G1\mathrm{C _{1} G _{1}}위의 점 D2\mathrm{D _{2}}와 선분 B1C1\mathrm{B _{1} C _{1}} 위의 두 점 B2\mathrm{B _{2}}, C2\mathrm{C _{2}}를 꼭짓점으로 하고, A2B2‾:A2D2‾=1:2\displaystyle \mathrm{\overline{A _{2} B _{2}} : \overline{A _{2} D _{2}} = 1 : 2}인 직사각형 A2B2C2D2\mathrm{A _{2} B _{2} C _{2} D _{2}}를 그리고, 그림 R1\mathrm{R _{1}}을 얻는것과 같은 방법으로 직사각형 A2B2C2D2\mathrm{A _{2} B _{2} C _{2} D _{2}} 내부에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R2{R _{2}}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n{n}번째 얻은 그림 Rn{R _{n}}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [4점]

①33π−79\displaystyle \frac{3 \sqrt{3} \pi - 7}{9}②43π−129\displaystyle \frac{4 \sqrt{3} \pi - 12}{9}③33π−59\displaystyle \frac{3 \sqrt{3} \pi - 5}{9}④43π−109\displaystyle \frac{4 \sqrt{3} \pi - 10}{9}⑤43π−89\displaystyle \frac{4 \sqrt{3} \pi - 8}{9}

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②

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해설

도형 R1\mathrm{R _{1}}의 색칠된 부분의 넓이 S1\mathrm{S _{1}}은 S1=\mathrm{S} _{1} = (부채꼴 F1C1B1\mathrm{F} _{1} C _{1} B _{1}의 넓이) ++ (부채꼴 E1B1C1\mathrm{E} _{1} B _{1} C _{1}의 넓이) −2×(△G1B1C1)\mathrm{- 2 \times ( \triangle G _{1} B _{1} C _{1} )}의 넓이이다. 점 F1\mathrm{F _{1}}와 G1\mathrm{G _{1}}에서에서 B1C1‾\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} C _{1}}}에 내린 수선의 발을 각각 H\mathrm{H}, M\mathrm{M}라고 하자. F1C1‾:F1H‾=2:1\displaystyle \mathrm{\overline{F _{1} C _{1}} : \overline{F _{1} H} = 2 : 1} 이므로 ∠F1C1H=30∘\mathrm{\angle F _{1} C _{1} H = 30 ^\circ}이다. 따라서 부채꼴 F1C1B1\mathrm{F} _{1} C _{1} B _{1}의 넓이=30360×4π=π3\displaystyle = \frac{30}{360} \times 4 \pi = \frac{\pi}{3}이고 부채꼴 F1C1B1\mathrm{F _{1} C _{1} B _{1}}과 부채꼴 E1B1C1\mathrm{E _{1} B _{1} C _{1}}는 합동이므로 부채꼴 E1B1C1\mathrm{E} _{1} B _{1} C _{1}의 넓이=π3\displaystyle = \frac{\pi}{3} C1M‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{C _{1} M} = 1} 이고, ∠G1C1M=30∘\mathrm{\angle G _{1} C _{1} M = 30 ^\circ}이므로 G1M‾=33\displaystyle \mathrm{\overline{G _{1} M} = \frac{\sqrt{3}}{3}}이다. 따라서 (△G1B1C1의넓이)=33\displaystyle \mathrm{( \triangle G _{1} B _{1} C _{1} \text{의} \text{넓이} ) = \frac{\sqrt{3}}{3}} 즉, S1=2π−233\displaystyle S _{1} = \frac{2 \pi - 2 \sqrt{3}}{3}

직사각형 AnBnCnDnA _{n} B _{n} C _{n} D _{n}의 한 변의 길이를 xnx _{n}이라 하고, 직사각형 AnBnCnDnA _{n} B _{n} C _{n} D _{n}에서 새로 그려진 직사각형 An+1Bn+1Cn+1Dn+1A _{n + 1} B _{n + 1} C _{n + 1} D _{n + 1}의 한 변의 길이를 xn+1x _{n + 1}이라고 하면 BnBn+1‾:Bn+1An+1‾=3:1\displaystyle \overline{B _{n} B _{n + 1}} : \overline{B _{n + 1} A _{n + 1}} = \sqrt{3} : 1 이므로 (xn−xn+1):xn+1=3:1\displaystyle ( x _{n} - x _{n + 1} ) : x _{n + 1} = \sqrt{3} : 1 이다. 비례식을 정리하여 풀면 xn+1=3−12xn\displaystyle x _{n + 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} x _{n}이 되어 직사각형 AnBnCnDnA _{n} B _{n} C _{n} D _{n} 내부에 그려진 도형의 넓이와 직사각형 An+1Bn+1Cn+1Dn+1A _{n + 1} B _{n + 1} C _{n + 1} D _{n + 1}의 내부에 새로 그려진 도형의 넓이의 비는 1:(3−12)2\displaystyle 1 : \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right) ^{2} 이 되어 SnS _{n}은 초항이 2π−233\displaystyle \frac{2 \pi - 2 \sqrt{3}}{3}이고 공비가 (3−12)2\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right) ^{2}인 등비수열의 합이다. 따라서 lim⁡n→∞Sn=2π−2331−(3−12)2=43π−129\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n} = \frac{\frac{2 \pi - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right) ^{2}}} = \frac{4 \sqrt{3} \pi - 12}{9}

태그

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