미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

직사각형 넓이와 정적분

문제

함수 $f ( x ) = x ^{2} + ax + b ( a \geq 0 , b > 0 )$ 가 있다. 그림과 같이 $2$ 이상인 자연수 $n$ 에 대하여 폐구간 $[ 0 , 1 ]$ 을 $n$ 등분한 각분점 (양 끝점도 포함)을 차례로 $0 = x _{0} , x _{1} , x _{2} , \cdots , x _{n-1} , x _{n} = 1$ 이라 하자. 폐구간 $[ x _{k - 1} , x _{k} ]$ 를 밑변으로 하고 높이가 $f ( x _{k} )$ 인 직사각형의 넓이를 $A _{k}$ 라 하자. $( k = 1 , 2 , \cdots , n )$

양 끝에 있는 두 직사각형의 넓이의 합이 $\displaystyle A _{1} + A _{n} = \frac{7 n ^{2} + 1}{n ^{3}}$ 일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} \frac{8 k}{n} A _{k}$ 의 값을 구하시오. [4점]

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14

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해설

$\displaystyle x _{k} = \frac{k}{n}$ 이므로 $\displaystyle A _{k} = \frac{1}{n} \cdot f ( x _{k} ) = \frac{1}{n} f \left( \frac{k}{n} \right)$ $\displaystyle A _{1} + A _{n} = \frac{1}{n} \left\{ f ( x _{1} ) + f ( x _{n} ) \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{n} \left\{ \left( \frac{1}{n} \right) ^{2} + \frac{a}{n} + b + 1 + a + b \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{n ^{3}} \left\{ 1 + an + ( 1 + a + 2 b ) n ^{2} \right\}$ $\displaystyle = \frac{7 n ^{2} + 1}{n ^{3}}$ 에서 $a = 0$ , $1 + a + 2 b = 7$ $\therefore a = 0$ , $b = 3$ $\therefore f ( x ) = x ^{2} + 3$ 따라서, $\displaystyle A _{k} = \frac{1}{n} \left\{ \left( \frac{k}{n} \right) ^{2} + 3 \right\}$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} \frac{8 k}{n} A _{k}$ $\displaystyle = 8 \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{n} \left\{ \left( \frac{k}{n} \right) ^{2} + 3 \right\}$ $\displaystyle = 8 \int _{0} ^{1} x ( x ^{2} + 3 ) dx$ $\displaystyle = 8 \left[ \frac{1}{4} x ^{4} + \frac{3}{2} x ^{2} \right] _{0} ^{1}$ $\displaystyle = 8 \left( \frac{1}{4} + \frac{3}{2} \right) = 14$

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