직사각형 넓이와 이차방정식

[출제의도] 주어진 상황에 맞는 이차방정식을 세워 선분의 길이를 구한다.

두 삼각형 $\mathrm{ABD}$와 삼각형 $\mathrm{SOD}$에서 $\mathrm{\angle} DAB = \mathrm{\angle} DSO = 90 \mathit{^\circ}$, $\mathrm{\angle} ADB$는 공통이므로 두 삼각형 $\mathrm{ABD}$와 삼각형 $\mathrm{SOD}$는 서로 닮음이다. 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} \mathit{:} {\overline{\mathrm{AD}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{SO}}} \mathit{:} {\overline{\mathrm{SD}}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \mathrm{\overline{AD}} = 4$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{SO}}} \mathit{:} {\overline{\mathrm{SD}}} = 1 : 2$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} = x$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{SO}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AP}}}$$= x$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{SD}}}$$\displaystyle = 2 \mathrm{\overline{SO}}$$= 2 x$ 따라서 사각형 $\mathrm{APOS}$의 넓이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} \times \mathrm{\overline{AS}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AP}} \times \left( \mathrm{\overline{AD}} - \overline{SD} \right)$$= x \times \left( 4 - 2 x \right)$$= 4 x - 2 x ^{2}$ 사각형 $\mathrm{OQCR}$의 넓이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} \times \mathrm{\overline{OR}}$$\displaystyle = \left( \mathrm{\overline{SQ}} - {\overline{SO}} \right) \times \mathrm{\overline{OR}}$$\displaystyle = \left( \mathrm{\overline{AB}} - {\overline{AP}} \right) \times \mathrm{\overline{SD}}$ $= \left( 2 - x \right) \times 2 x$$= 4 x - 2 x ^{2}$ 조건에서 사각형 $\mathrm{APOS}$의 넓이와 사각형 $\mathrm{OQCR}$의 넓이의 합이 $3$이므로 $4 x - 2 x ^{2} + 4 x - 2 x ^{2} = 3$ $4 x ^{2} - 8 x + 3 = 0$ $\left( 2 x - 3 \right) \left( 2 x - 1 \right) = 0$ $\displaystyle x = \frac{3}{2}$ 또는 $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ 조건에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} \mathit{<} {\overline{\mathrm{PB}}}$이므로 $x < 2 - x$, $x < 1$ 따라서 $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$ [다른 풀이] 사각형 $\mathrm{APOS}$의 넓이와 사각형 $\mathrm{OQCR}$의 넓이의 합은 직사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이에서 직사각형 $\mathrm{PBQO}$의 넓이와 직사각형 $\mathrm{SORD}$의 넓이를 뺀 것과 같다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} = x$라 할 때, 직사각형 $\mathrm{PBQO}$의 넓이는 다음과 같이 $x$에 관한 식으로 나타낼 수 있다. $\displaystyle \mathrm{\overline{PB}} \times \mathrm{\overline{PO}}$$\displaystyle = \left( \mathrm{\overline{AB}} - {\overline{AP}} \right) \times \left( \mathrm{\overline{AD}} - {\overline{SD}} \right)$$= \left( 2 - x \right) \left( 4 - 2 x \right)$ $= 2 x ^{2} - 8 x + 8$ 마찬가지로 직사각형 $\mathrm{SORD}$의 넓이도 $x$에 관한 식으로 나타낼 수 있다. $\displaystyle \mathrm{\overline{SO}} \times \mathrm{\overline{SD}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AP}} \times \mathrm{\overline{SD}}$$= x \times 2 x$$= 2 x ^{2}$ 조건에서 사각형 $\mathrm{APOS}$의 넓이와 사각형 $\mathrm{OQCR}$의 넓이의 합이 $3$이므로 $8 - \left( 2 x ^{2} - 8 x + 8 \right) - 2 x ^{2} = 3$ $4 x ^{2} - 8 x + 3 = 0$ $\left( 2 x - 3 \right) \left( 2 x - 1 \right) = 0$ $\displaystyle x = \frac{3}{2}$ 또는 $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ $x < 1$이므로 $\displaystyle x = \frac{1}{2}$