대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

직사각형 넓이 합

문제

그림과 같이 좌표평면에서 직선 x=kx = k가 곡선 y=2x+4y = 2 ^{x} + 4와 만나는 점을 Ak{\mathrm{A}} _{k}라 하고, 직선 x=k+1x = k + 1이 직선 y=xy = x와 만나는 점을 Bk+1{\mathrm{B}} _{k+1}이라 하자. 선분 AkBk+1{\mathrm{A}} _{k} {\mathrm{B}} _{k+1}을 대각선으로 하고 각 변은 xx축 또는 yy축에 평행한 직사각형의 넓이를 SkS _{k}라 할 때, ∑k=18Sk\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{8} S _{k}의 값은? [3점]

①494494②496496③498498④500500⑤502502

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③

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해설

점 Ak{\mathrm{A}} _{k}의 yy좌표가 2k+42 ^{k} + 4이고 점 Bk{\mathrm{B}} _{k}의 yy좌표가 k+1k + 1이므로 SkS _{k}는 가로의 길이가 11이고 세로의 길이가 (2k+4)−(k+1)=2k−k+3( 2 ^{k} + 4 ) - ( k + 1 ) = 2 ^{k} - k + 3인 직사각형의 넓이이다. ∴ Sk=2k−k+3S _{k} = 2 ^{k} - k + 3 ∴ ∑k=18Sk\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{8} S _{k}=∑k=182k−∑k=18(k−3)\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{8} 2 ^{k} - \sum\limits _{k=1} ^{8} ( k - 3 )=2(28−1)2−1−82(−2+5)\displaystyle = \frac{2 ( 2 ^{8} - 1 )}{2 - 1} - \frac{8}{2} ( - 2 + 5 ) =498= 498

태그

#시그마#등비수열의 합

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