대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

직사각형 넓이 합

문제

그림과 같이 xx 좌표가 각각 1,2,3,4,⋯1 , 2 , 3 , 4 , \cdots 인 xx축 위의 점에서 yy 축에 평행한 직선을 그어 곡선 y=2x(x+1)\displaystyle y = \frac{2}{x ( x + 1 )}과 만나는 점까지를 세로로 하는 직사각형을 한없이 만든다. 이 때 만들어지는 직사각형의 넓이를 S1,S2,S3,⋯S _{1,} S _{2,} S _{3,} \cdots 라 할 때, ∑n=1100Sn\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{100} S _{n}의 값은? [4점] S2S _{2}100101\displaystyle \frac{100}{101}

y=2x(x+1)\displaystyle y = \frac{2}{x ( x + 1 )}

①20099\displaystyle \frac{200}{99}②201100\displaystyle \frac{201}{100}③200101\displaystyle \frac{200}{101}④201101\displaystyle \frac{201}{101}⑤201103\displaystyle \frac{201}{103}

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③

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해설

SnS _{n}는 가로가 1, 세로가 2n(n+1)\displaystyle \frac{2}{n ( n + 1 )}인 직사각형의 넓이 ∴ Sn=2n(n+1)\displaystyle S _{n} = \frac{2}{n ( n + 1 )} ∑n=11002n(n+1)=2∑n=1100(1n−1n+1)\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{100} \frac{2}{n ( n + 1 )} = 2 \sum\limits _{{n} = 1} ^{100} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)=2(1−1101)=200101\displaystyle = 2 \left( 1 - \frac{1}{101} \right) = \frac{200}{101}

태그

#부분분수#시그마

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