공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

직사각형 넓이 최대

문제

그림과 같이 두 직선 l1:2x−y+1l _{1} : 2 x - y + 1=0= 0 l2:x+y−4l _{2} : x + y - 4=0= 0 과 xx축으로 둘러싸인 부분에 직사각형이 있다. 이 직사각형의 한 변은 xx축 위에 있고 두 꼭짓점은 각각 직선 l1,l2l _{1} , l _{2} 위에 있을 때, 직사각형의 넓이의 최댓값은? [4점]

①238\displaystyle \frac{23}{8}②33③258\displaystyle \frac{25}{8}④134\displaystyle \frac{13}{4}⑤278\displaystyle \frac{27}{8}

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⑤

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해설

[출제의도] 이차함수의 최대, 최소를 활용한 문제해결하기 두 직선 l1,l2l _{1} , l _{2}의 교점의 좌표는 (1,3)\left( 1 , 3 \right)이고 각각의 xx절편이 −12,4\displaystyle - \frac{1}{2} , 4 이므로 xx축 위에 있는 직사각형의 두 꼭짓점의 xx좌표를 각각 a,ba , b (−12<a<1,1<b<4)\displaystyle \left( - \frac{1}{2} < a < 1 , 1 < b < 4 \right)라 하면 나머지 두 꼭짓점의 좌표는 (a,2a+1)\left( a , 2 a + 1 \right), (b,−b+4)\left( b , - b + 4 \right)이다.

두 꼭짓점의 yy좌표가 같으므로 2a+12 a + 1=−b+4= \mathit{-} b + 4, bb=−2a+3= \mathit{-} 2 a + 3 직사각형의 넓이는 (b−a)(2a+1)\left( b - a \right) \left( 2 a + 1 \right)=(−2a+3−a)(2a+1)= \left( \mathit{-} 2 a + 3 - a \right) \left( 2 a + 1 \right)=−3(2a2−a−1)= \mathit{-} 3 \left( 2 a ^{2} - a - 1 \right) 이므로, 직사각형의 넓이를 S(a)S \left( a \right)라 하면 −12<a<1\displaystyle - \frac{1}{2} < a < 1에서 S(a)S \left( a \right)=−3(2a2−a−1)= \mathit{-} 3 \left( 2 a ^{2} - a - 1 \right)=−6(a−14)2+278\displaystyle = \mathit{-} 6 \left( a - \frac{1}{4} \right) ^{2} + \frac{27}{8} 따라서 직사각형의 넓이의 최댓값은 278\displaystyle \frac{27}{8}

태그

#이차함수 최대#직선

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