직사각형 넓이 비교

[출제의도] 연립이차부등식 문제해결하기 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{Q}} \mathit{\mathrm{C}}}} = a$이므로 $0 < a < 1 2$이고 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{Q}}}} = 1 2 - a$ 이때, 세 $\triangle {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}$, $\triangle {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{P}} \mathit{\mathrm{R}}$, $\triangle {\mathrm{P}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{Q}}$는 각각 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{R}}}} = {\overline{{\mathrm{P}} \mathit{\mathrm{R}}}} = a$, $\displaystyle {\overline{{\mathrm{P}} \mathit{\mathrm{Q}}}} = {\overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{Q}}}} = 1 2 - a$ 이다. 직사각형 ${\mathrm{P}} \mathit{\mathrm{Q}} \mathit{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{R}}$의 넓이는 $a ( 1 2 - a )$, $\triangle {\mathrm{P}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{Q}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} ( 1 2 - a ) ^{2}$, $\triangle {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{P}} \mathit{\mathrm{R}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} a ^{2}$이므로 주어진 조건에 의하여 연립이차부등식 $\displaystyle {\begin{cases} a \left( 12 - a \right) > \frac{1}{2} \left( 12 - a \right) ^{2} & \\ a \left( 12 - a \right) > \frac{1}{2} a ^{2} & \end{cases}}$ 의 해를 구하면 $4 < a < 8$ 따라서 자연수 $a$는 $5$, $6$, $7$이므로 합은 $18$이다.