직사각형 이동과 겹친 넓이

[출제의도] 평행이동과 대칭이동을 이용하여 문제를 해결한다. 네 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$를 $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동한 네 점을 각각 $\mathrm{A} _{1}$, $\mathrm{B} _{1}$, $\mathrm{C} _{1}$, $\mathrm{D} _{1}$이라 하고, 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 네 점을 각각 $\mathrm{A} _{2}$, $\mathrm{B} _{2}$, $\mathrm{C} _{2}$, $\mathrm{D} _{2}$라 하자. 직사각형 $\mathrm{ABCD}$의 두 대각선의 교점이 원점이고 각 변은 $x$축 또는 $y$축에 평행하며 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} > {\overline{\mathrm{AB}}} > 2$이므로 두 직사각형 $\mathrm{ABCD}$, $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$은 그림과 같다.

이때 제$1$사분면 위의 점 $\mathrm{D}$의 좌표를 $\left( a , b \right)$라 하면 $\mathrm{A}$$\left( \mathit{-} a , b \right)$, $\mathrm{B}$$\left( \mathit{-} a , - b \right)$, $\mathrm{C}$$\left( a , - b \right)$이다. 점 $\mathrm{B} _{1}$은 점 $\mathrm{B}$를 $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동한 점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}$$= 2 a$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB} _{1}}}$$= 2 b - 2$ 조건 (가)에서 직사각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$의 내부와 직사각형 $\mathrm{ABCD}$의 내부와의 공통부분의 넓이가 $18$이므로 $2 a \times \left( 2 b - 2 \right)$$= 18$ $\cdots \cdots$ ㉠ 한편 직사각형 $\mathrm{A} _{2} D _{2} C _{2} B _{2}$는 직사각형 $\mathrm{ABCD}$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 도형이므로 두 직사각형 $\mathrm{ABCD}$, $\mathrm{A} _{2} D _{2} C _{2} B _{2}$는 그림과 같다.

조건 (나)에서 직사각형 $\mathrm{A} _{2} D _{2} C _{2} B _{2}$의 내부와 직사각형 $\mathrm{ABCD}$의 내부와의 공통부분의 넓이가 $16$이고 그림에서 공통부분은 한 변의 길이가 선분 $\mathrm{AB}$의 길이와 같은 정사각형이므로 $\left( 2 b \right) ^{2}$$= 16$ $b ^{2} = 4$ $b$는 양수이므로 $b$$= 2$ $b$$= 2$를 ㉠에 대입하면 $a$$\displaystyle = \frac{9}{2}$ 따라서 직사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} \times {\overline{\mathrm{AB}}}$$= 2 a \times 2 b$$= 4 ab$$\displaystyle = 4 \times \frac{9}{2} \times 2$$= 36$