공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

직사각형 둘레 최대

문제

그림은 이차함수 f(x)=−x2+11x−10f \left( x \right) = \mathit{-} x ^{2} + 11 x - 10의 그래프와 직선 y=−x+10y = \mathit{-} x + 10을 나타낸 것이다. 직선 y=−x+10y = \mathit{-} x + 10 위의 한 점 A(t,−t+10)\mathrm{A} \mathit{(} t , - t + 10 )에 대하여 점 A\mathrm{A}를 지나고 yy축에 평행한 직선이 이차함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프와 만나는 점을 B\mathrm{B}, 점 B\mathrm{B}를 지나고 xx축과 평행한 직선이 이차함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프와 만나는 점 중 B\mathrm{B}가 아닌 점을 C\mathrm{C}, 점 A\mathrm{A}를 지나고 xx축에 평행한 직선과 점 C\mathrm{C}를 지나고 yy축에 평행한 직선이 만나는 점을 D\mathrm{D}라 하자. 네 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, C\mathrm{C}, D\mathrm{D}를 꼭짓점으로 하는 직사각형의 둘레의 길이의 최댓값은? (단, 2<t<102 < t < 10, t≠112\displaystyle t \ne \frac{11}{2}이다.) [4점]

y=−x+10y = \mathit{-} x + 10 y=f(x)y = f \left( x \right)

①3030②3333③3636④3939⑤4242

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③

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해설

[출제의도] 이차함수의 최댓값, 최솟값 추론하기 이차방정식 −x2+11x−10=−x+10- x ^{2} + 11 x - 10 = \mathit{-} x + 10의 근은 x=2x = 2, 1010이므로 두 점 (2,8)\left( 2 , 8 \right)과 (10,0)\left( 10 , 0 \right)에서 두 그래프가 만난다. A(t,−t+10)\mathrm{A} \mathit{\left( t , - t + 10 \right)}, B(t,−t2+11t−10)\mathrm{B} \mathit{\left( t , - t ^{2} + 11 t - 10 \right)}라 하면 선분 AB\mathrm{AB}의 길이는 −t2+11t−10−(−t+10)=−t2+12t−20- t ^{2} + 11 t - 10 - \left( - t + 10 \right) = \mathit{-} t ^{2} + 12 t - 20이다. ⅰ) 2<t<112\displaystyle 2 < t < \frac{11}{2}인 경우

y=−x+10y = \mathit{-} x + 10 y=f(x)y = f ( x ) 11−t11 - t

선분 BC\mathrm{BC}의 길이는 2×(112−t)=11−2t\displaystyle 2 \times \left( \frac{11}{2} - t \right) = 11 - 2 t이다. 직사각형 BADC\mathrm{BADC}의 둘레의 길이는 2(−t2+10t−9)=−2(t−5)2+322 \left( - t ^{2} + 10 t - 9 \right) = \mathit{-} 2 \left( t - 5 \right) ^{2} + 32이다. 2<t<112\displaystyle 2 < t < \frac{11}{2}에서 직사각형 BADC\mathrm{BADC}의 둘레의 길이의 최댓값은 3232이다. ⅱ) 112<t<10\displaystyle \frac{11}{2} < t < 10인 경우

y=−x+10y = \mathit{-} x + 10 y=f(x)y = f ( x ) 11−t11 - t

선분 BC\mathrm{BC}의 길이는 2×(t−112)=2t−11\displaystyle 2 \times \left( t - \frac{11}{2} \right) = 2 t - 11이다. 직사각형 ABCD\mathrm{ABCD}의 둘레의 길이는 2(−t2+14t−31)=−2(t−7)2+362 \left( - t ^{2} + 14 t - 31 \right) = \mathit{-} 2 \left( t - 7 \right) ^{2} + 36이다. 112<t<10\displaystyle \frac{11}{2} < t < 10에서 직사각형 ABCD\mathrm{ABCD}의 둘레의 길이의 최댓값은 3636이다. 따라서 직사각형 ABCD\mathrm{ABCD}의 둘레의 길이의 최댓값은 3636이다.

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