직사각형 둘레 최대

[출제의도] 이차함수의 성질을 이용하여 이차함수 문제 해결하기 $f ( x ) = x ^{2} - 7$, $g ( x ) = - 2 x ^{2} + 5$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \overline{BC} = \mathit{(} a - ( - a ) ) = \mathit{2} a$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BA}} = \overline{CD} = \mathit{\mathit{g}} ( a ) - f ( a )$$= ( - 2 a ^{2} + 5 ) - ( a ^{2} - 7 )$$= - 3 a ^{2} + 12$ 이다. 따라서 직사각형 $\mathrm{ABCD}$의 둘레의 길이를 $h ( a )$라 하면 $\displaystyle h ( a ) = \mathrm{\overline{AD}} + \overline{BC} + \overline{BA} + \overline{CD}$ $\displaystyle = 2 \left( \mathrm{\overline{AD}} + \overline{BA} \right)$$= 2 \left( 2 a - 3 a ^{2} + 12 \right)$$= - 6 a ^{2} + 4 a + 24$ 이고 $\displaystyle h ( a ) = - 6 \left( a - \frac{1}{3} \right) ^{2} + \frac{74}{3}$ 이다. 따라서 $\displaystyle a = \frac{1}{3}$일 때, 직사각형 $\mathrm{ABCD}$의 둘레의 길이가 최대가 된다.